[論文レビュー] Algebraic proof theory for LE-logics

Giuseppe Greco, Peter Jipsen+3 more|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2018

Advanced Algebra and Logic参考文献 57被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、関数的D-フレームを残渣フレームの一般化として導入することで、代数的証明理論を通常のラティス拡張（LE）論理へと拡張する。これにより、表示計算 D.LE 及びその解析的帰納的公理を含む拡張に対する意味的カット除去と有限モデル性（FMP）の均一な証明が可能になる。主な貢献は、証明論的カット除去とマクネイル完備化や正規拡張といった代数的性質を結びつける統一的枠組みを提供することにある。

ABSTRACT

In this paper we extend the research programme in algebraic proof theory from axiomatic extensions of the full Lambek calculus to logics algebraically captured by certain varieties of normal lattice expansions (normal LE-logics). Specifically, we generalise the residuated frames in [34] to arbitrary signatures of normal lattice expansions (LE). Such a generalization provides a valuable tool for proving important properties of LE-logics in full uniformity. We prove semantic cut elimination for the display calculi D.LE associated with the basic normal LE-logics and their axiomatic extensions with analytic inductive axioms. We also prove the finite model property (FMP) for each such calculus D.LE, as well as for its extensions with analytic structural rules satisfying certain additional properties.

研究の動機と目的

• 部分構造論理から任意の通常のLE論理へ代数的証明理論を一般化し、カット除去と有限モデル性に関する結果を拡張すること。
• 証明論的性質（カット除去、FMP）と代数的性質（マクネイル完備化、正規拡張）の間の均一な関係を確立すること。
• 任意の正規ラティス拡張のシグネチャを扱えるように、残渣フレームを関数的D-フレームに一般化すること。
• 解析的帰納的公理がD.LE計算に安全に追加可能であり、カット除去が保たれることを示すこと。
• 双対性理論と正規拡張を用いて、二値および多値のLE論理の両方において金属的性質を統一的に扱う枠組みを提供すること。

提案手法

• 接続子の関係が関数的である関数的D-フレームを導入し、任意のLEシグネチャの代数的意味論を可能にする。
• 極性に基づく関係構造（D-フレーム）から複素代数を構成し、モーダル論理における複素代数構成を一般化する。
• 正規拡張と解析的帰納的不等式の構成的正規性を用いて、意味的カット除去を確立する。
• D-フレームからその複素代数への有効性の保存性を証明し、D.LE計算におけるカット除去を保証する。
• 有限埋め込み性とD-フレーム構成を応用して、D.LEおよび解析的構造規則を含む拡張における有限モデル性（FMP）を証明する。
• 双対性理論と一般化されたサールクヴィスト枠組みを用いて、LE論理の証明論的、代数的、意味論的結果を統一する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分構造論理における代数的証明理論の枠組みは、フル・ラムベック計算を超える任意の通常のLE論理へ拡張可能か？
• RQ2 どのようにして残渣フレームを、任意の正規ラティス拡張のシグネチャを扱えるように一般化できるか？
• RQ3 関数的D-フレームは、表示計算におけるカット除去を捉えるために果たす意味的役割は何か？
• RQ4 解析的帰納的公理がD.LE計算におけるカット除去を保つために必要な条件は何か？
• RQ5 D.LE計算および解析的構造規則を含む拡張に対して、有限モデル性を均一に確立できるか？

主な発見

• D.LE計算および解析的帰納的公理を含む拡張に対して、D-フレームからその複素代数への有効性の保存性を用いて、意味的カット除去が確立された。
• D.LE計算および解析的構造規則を満たす追加条件を満たす拡張に対して、有限埋め込み性とD-フレーム構成を用いて、有限モデル性（FMP）が証明された。
• 関数的D-フレームが残渣フレームの一般化として導入され、任意の正規ラティス拡張のシグネチャに対する均一な取り扱いが可能になった。
• 極性に基づくD-フレームから複素代数を構成する方法は、マクネイル完備化を一般化し、カット除去の背後にある代数的意味論を提供する。
• D-フレームの正規拡張により、解析的帰納的不等式の構成的正規性が保証され、これがカット除去とFMPの証明の鍵となった。
• この枠組みにより、二値および多値のLE論理の両方において、証明論的、代数的、意味論的結果が統一され、金属的性質のパrametricな証明が可能になった。