[論文レビュー] Algebraic properties of profinite groups

Nikolay Nikolov|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2011

Finite Group Theory Research参考文献 69被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、有限群の有界積分解から生じる位相的群における重要な性質をもたらす、プロフィニート群の代数的構造における最近の進展を概説する。群の部分群成長、ランク勾配、測度的群作用におけるコストとの間の関係を確立し、特に固定価格予想を通じてランク勾配とコストを結びつける重要な貢献を行う。

ABSTRACT

Recently there has been a lot of research and progress in profinite groups. We survey some of the new results and discuss open problems. A central theme is decompositions of finite groups into bounded products of subsets of various kinds which give rise to algebraic properties of topological groups.

研究の動機と目的

• 有限群の有界積分解から生じるプロフィニート群の代数的構造における最近の発展を概説すること。
• 有限生成で再帰的に有限な群の完備化として生じるプロフィニート群はどのようなものかを調査し、この性質の障害を特定すること。
• 有限生成群におけるランク勾配と、そのプロフィニート完備化上の作用のコストとの関係を探索すること。
• 固定価格予想が3次元多様体群におけるランク勾配と部分群成長に与える影響を検討すること。
• 特に最小生成集合や部分群成長に関して、抽象群の構造がどの程度プロフィニート完備化によって決定されるかを明確にすること。

提案手法

• 逆極限を用いて有限群の族からプロフィニート群を構成し、再帰的に有限群におけるプロフィニート位相を活用する。
• Lazard、Mann、Lubotzkyが確立した、p進解析的群の有限ランク（Prüferランク）による特徴づけを適用する。
• 特に多項式的部分群成長を用いて、プロフィニート完備化の構造を分析する部分群成長理論を用いる。
• ランク勾配の公式：RG(Γ, (Γi)) = cost(Γ, Ĝ) − 1 を用いる。ここで Ĝ は Γ のプロフィニート完備化である。
• Γ がそのプロフィニート完備化 Ĝ に左移動作用を施すことで、ランク勾配と測度的群不変量との関係を明らかにする。
• 特にガボリアウのコスト理論を含む測度的群論の結果を活用し、代数的不変量と力学的性質を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのプロフィニート群が、有限生成で再帰的に有限な群のプロフィニート完備化として生じるか？
• RQ2 群のプロフィニート完備化が、特に最小生成集合に関して、その抽象的構造をどの程度決定するか？
• RQ3 ランク勾配は、プロフィニート完備化上の測度的群作用のコストとどのように関係するか？
• RQ4 固定価格予想が、交差が自明な異なる正規部分群列に対してランク勾配が不変であることを示唆するか？
• RQ5 双曲的3次元多様体群のランク勾配は、そのハイガードジャンルに対して任意に小さくできるか？

主な発見

• すべてのプロフィニート群が、有限生成で再帰的に有限な群のプロフィニート完備化であるとは限らない。例えば、増加が速い素数 pᵢ に対して ∏PSL₂(pᵢ) はそうではない。
• 多項式的部分群成長を示す有限生成群のプロフィニート完備化は、常に有限ランクの擬似可解群でなければならない。これは、特定の無限積を除外する。
• 正規部分群列 (Γᵢ) に関する群 Γ のランク勾配は、RG(Γ, (Γi)) = cost(Γ, Ĝ) − 1 に等しい。ここで Ĝ は Γ のプロフィニート完備化である。
• 固定価格予想が正しいならば、交差が自明な正規部分群列の選び方に関係なくランク勾配が不変であることが示唆される。
• 定理52は、任意の n ∈ ℕ に対して、g(M) − d(π₁(M)) > n を満たす閉じた双曲的3次元多様体 M が存在することを確認しており、ハイガードジャンルと最小生成数の差が任意に大きくできることが示されている。
• すべてのプロフィニート群が有限生成群の完備化であるという予想は、反例（例：ℤₚ はプロフィニート完備化でない）により誤りであることが示された。