[論文レビュー] Algebraic properties of robust Pad\\'e approximants

Beckermann, Bernhard, Ana C. Matos|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2013

Matrix Theory and Algorithms参考文献 21被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、構造的行列の分析を通じて、良好に条件付けられたパデ近似に対する前向き安定性および偽の極の不在を確立している。具体的には、長方形テープリッツ行列 $ C $、ストライプ付きテープリッツ行列 $ T $、三角テープリッツ行列 $ Q $、およびセルベスティル型行列 $ S $ を用いる。主な貢献は、条件数 $ \kappa(S) $ が moderate である良好に条件付けられた近似が、フロイサール二重子および小さな残差に対して頑健であることを証明し、単位円板内での収束の信頼性を保証することにある。

ABSTRACT

For a recent new numerical method for computing so-called robust Pad\\'e approximants through SVD techniques, the authors gave numerical evidence that such approximants are insensitive to perturbations in the data, and do not have so-called spurious poles, that is, poles with a close-by zero or poles with small residuals. A black box procedure for eliminating spurious poles would have a major impact on the convergence theory of Pad\\'e approximants since it is known that convergence in capacity plus absence of poles in some domain D implies locally uniform convergence in D. In the present paper we provide a proof for forward stability (or robustness), and show absence of spurious poles for the subclass of so-called well-conditioned Pad\\'e approximants. We also give a numerical example of some robust Pad\\'e approximant which has spurious poles, and discuss related questions. It turns out that it is not sufficient to discuss only linear algebra properties of the underlying rectangular Toeplitz matrix, since in our results other matrices like Sylvester matrices also occur. These types of matrices have been used before in numerical greatest common divisor computations.

研究の動機と目的

• 解析接続や関数近似における収束を妨げる、偽の極およびフロイサール二重子の長年の問題を解決すること。
• 特にデータ摂動やノイズの存在下でも観察されるSVDに基づくパデ近似法の数値的頑健性の理論的基盤を提供すること。
• 頑健なパデ近似と良好に条件付けられたパデ近似の違いを明確にし、偽の極および小さな残差の不在を保証するのは、後者に限ることを示すこと。
• 特に $ \kappa(S) $、すなわちセルベスティル型行列の条件数と、パデ近似の数値的安定性および収束特性との間の関係を確立すること。
• 頑健なパデ近似が偽の極を有さないかという未解決の問題に取り組み、頑健性のみでは不十分であるが、良好に条件付けられていればその不在が保証されることを示すこと。

提案手法

• 係数計算の線形系を記述する4つの構造的行列、すなわち $ C $（長方形テープリッツ）、$ T $（ストライプ付きテープリッツ）、$ Q $（三角テープリッツ）、および $ S = QT $（セルベスティル型）を用いて、パデ近似問題を分析する。
• 特異値分解（SVD）および疑似逆行列解析を用い、特に $ \kappa(S) $ を数値的安定性の指標として、関連する線形系の条件数を検討する。
• 条件数 $ \kappa(S) $ が moderate であるという定義を通じて、良好に条件付けられたパデ近似の概念を導入し、これにより後向き安定性およびフロイサール二重子と小さな残差の制御が可能となることを保証する。
• 一様弦的距離と正規化された係数ベクトルの差を用いて近似を比較し、単位円板内での真の関数への近接度を測る指標としての同等性を示す。
• SVDに基づく手法の再帰的代替手法としてのカバ＝ミレシュコ法を適用し、頑健な近似を計算可能であることを示すが、一部の良好に条件付けられた近似を漏れる可能性があることを示す。
• 数値例を用いて、頑健な近似でも依然として偽の極を含む可能性があることを示し、頑健性のみでは不十分であることを証明する。$ S $ の良好な条件付けが、このようなアーティファクトの不在を保証する必要がある。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 数値的証拠が示唆するように、頑健なパデ近似は真に偽の極を有さないのだろうか？
• RQ2 セルベスティル型行列 $ S $ の条件数と、パデ近似におけるフロイサール二重子や小さな残差の不在との間の明確な関係は何か？
• RQ3 パデ近似において前向き安定性と後向き安定性を同時に達成できるか。また、そのような状況はどのような行列の条件付け仮定のもとで成立するか？
• RQ4 条件数 $ \kappa(S) \lesssim 1 $ で定義される良好に条件付けられたパデ近似のクラスは、頑健な近似の真の部分集合であるか。また、そのクラスは偽の極を伴わずに容量収束を保証するか？
• RQ5 構造的条件数 $ \kappa(S) $ と非構造的条件数 $ \kappa(T) $ との関係は何か。また、構造的条件数はパデ近似誤差に対してより鋭い境界を与えることができるか？

主な発見

• 条件数 $ \kappa(S) $ が moderate である良好に条件付けられたパデ近似は、前向きに良好に条件付けられており、偽の極やフロイサール二重子を有しない。
• 良好に条件付けられた近似において、実数パデ写像は後向きに良好に条件付けられており、$ \|Q^{-1}T\| \lesssim \kappa(S) $ を満たす。これにより数値的安定性が保証される。
• 一様弦的距離と正規化された係数ベクトルの差は、単位円板内での真の関数への近接度を測る指標として同等である。
• 良好に条件付けられた近似では、分子多項式と分母多項式の数値的互いに素性が保証され、[4, 7] の基準に一致する。
• 例2.3により、頑健な近似でも依然として偽の極を含む可能性があることが示され、頑健性のみではフロイサール二重子を排除できないことが証明された。
• コロナリー6.3および定理1.4により示唆されるように、固定された対角線上には、真の関数 $ f $ に対して単位円板全体で近い良好に条件付けられたパデ近似は有限個しか存在しない。