[論文レビュー] Algebraic quantum permutation groups

Julien Bichon|ArXiv.org|Oct 8, 2007

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、特性0の体上において、代数的量子置換群 $A_s(n,\mathbb{K})$ が対角代数 $\mathbb{K}^n$ に作用する普遍の余半単純ホップ代数であることを確立し、ワングのコンパクト量子群構成を一般化する。さらに、$\mathbb{K}^n$ における群の順序付けを用いて、$A_s(n,\mathbb{K})$ の余可換かつ余半単純な商を分類し、それらが対称群の推移的アーベル部分群の自由積の商に一致することを示す。

ABSTRACT

We discuss some algebraic aspects of quantum permutation groups, working over arbitrary fields. If $K$ is any characteristic zero field, we show that there exists a universal cosemisimple Hopf algebra coacting on the diagonal algebra $K^n$: this is a refinement of Wang's universality theorem for the (compact) quantum permutation group. We also prove a structural result for Hopf algebras having a non-ergodic coaction on the diagonal algebra $K^n$, on which we determine the possible group gradings when $K$ is algebraically closed and has characteristic zero.

研究の動機と目的

• 任意の体、特に特性0の体上でのワングの普遍的コンパクト量子置換群 $\mathcal{Q}_n$ を代数的設定に拡張すること。
• 体 $\mathbb{K}$ が特性0であるとき、$A_s(n,\mathbb{K})$ が $\mathbb{K}^n$ に作用する普遍の余半単純ホップ代数であることを証明すること。
• 体 $\mathbb{K}$ が代数的に閉じていて特性0であるとき、$A_s(n,\mathbb{K})$ の余可換かつ余半単純なホップ代数の商を分類すること。
• コアクションとホップ代数の商の構造を用いて、対角代数 $\mathbb{K}^n$ におけるすべての可能な群の順序付けを記述すること。

提案手法

• 半魔方陣および魔方陣の条件を符号化する生成子と関係式によって定義される、ワングの $A_s(n,\mathbb{C})$ の代数的双対物としてホップ代数 $A_s(n,\mathbb{K})$ を構成する。
• $\mathbb{K}^n$ における $G$-順序付けと群代数 $\mathbb{K}[G]$ のコアクションとの対応関係を用い、順序付けの問題をホップ代数のコアクション構造に翻訳する。
• 余半単純ホップ代数の理論とハール積分の存在を応用して、特に非エルゴディックおよびエルゴディックな場合に注目し、$\mathbb{K}^n$ へのコアクションの構造を分析する。
• 余可換かつ余半単純なホップ代数が代数的に閉じていて特性0の体上では群代数 $\mathbb{K}[G]$ に同型であるという事実を活用し、分類問題を群論的データに還元する。
• 特に、有限個の非ゼロ同次成分を持つ群の元の数の有限性およびエルゴディックな場合の群のアーベル性に注目した、結合的代数における群の順序付けの結果を応用する。
• $A_s(n,\mathbb{K})$ の普遍性を用いて、任意のコアクションが $A_s(n,\mathbb{K})$ の商を通じて因数分解されることを示し、その結果、商が対称群 $S_{m_i}$ の推移的アーベル部分群の自由積の商に一致することを分類する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特性0の体 $\mathbb{K}$ 上で、$\mathbb{K}^n$ に作用する普遍の余半単純ホップ代数は存在するか？ その構造は何か？
• RQ2 非エルゴディックに $\mathbb{K}^n$ に作用するホップ代数に課される構造的制約は何か？
• RQ3 $\mathbb{K}$ が代数的に閉じていて特性0であるとき、$A_s(n,\mathbb{K})$ の余可換かつ余半単純な商はどのように分類できるか？
• RQ4 どのような群の順序付けが対角代数 $\mathbb{K}^n$ に実現可能か？ そしてそれらはホップ代数のコアクションとどのように関係するか？

主な発見

• 特性0の体 $\mathbb{K}$ 上では、$A_s(n,\mathbb{K})$ は $\mathbb{K}^n$ に作用する普遍の余半単純ホップ代数であり、ワングの普遍性定理を代数的設定に一般化する。
• 任意のホップ代数が $\mathbb{K}^n$ に非エルゴディックに作用する場合、命題4.1で示されるように、より小さい $m_i$ に対する $A_s(m_i,\mathbb{K})$ の自由積の商を通じて因数分解される必要がある。
• 体 $\mathbb{K}$ が代数的に閉じていて特性0であるとき、$A_s(n,\mathbb{K})$ のすべての余可換かつ余半単純な商は、$\mathbb{K}[G]$ に同型であり、ここで $G$ は対称群 $S_{m_i}$ の推移的アーベル部分群の自由積の商である。
• 命題5.2で述べられるように、$\mathbb{K}^n$ に忠実な $G$-順序付けが存在するための必要十分条件は、$G$ が $\sum m_i = n$ を満たす推移的アーベル群 $G_i \subset S_{m_i}$ の自由積の商であることである。
• 順序付けがエルゴディックであるための必要十分条件は、対応する群 $G$ が $S_n$ の推移的アーベル部分群であることであり、これは $G$ が $[n]$ 上に推移的に作用することを意味する。
• コアクションの $C^*$-代数としての $A_s(n,\mathbb{C})$ の余可換かつ余半単純な商は、コロナリー5.3に従い、$G$ が推移的アーベル群の自由積の商であるような $\mathbb{C}[G]$ に同型である。