[論文レビュー] Algebraic Realization of Supersymmetric Quantum Mechanics for Cyclic Shape Invariant Potentials

C. Quesne, N. Vansteenkiste|ArXiv.org|Jan 22, 1999

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 2被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、周期3の循環的形状不変ポテンシャルに対して、$C_3$-拡張調和振動子代数$\mathcal{A}^{(3)}_{\alpha_0\alpha_1}$を用いて超対称量子力学（SSQM）の代数的実現を提示し、特定のスペクトルが無限に周期的配置されたエネルギー準位を持つことを示している。生成・消滅演算子とパウリ行列を用いて超対称ハミルトニアンおよび超電荷を構成し、パrameter制約を満たす$C_\lambda$-拡張代数を用いて任意の周期$\lambda$への一般化がなされている。

ABSTRACT

We study in detail the spectrum of the bosonic oscillator Hamiltonian associated with the $C_3$-extended oscillator algebra \algthree, where $C_3$ denotes a cyclic group of order three, and classify the various types of spectra in terms of the algebra parameters $α_0, α_1$. In such a classification, we identify those spectra having an infinite number of periodically spaced levels, similar to those of cyclic shape invariant potentials of period three. We prove that the hierarchy of supersymmetric Hamiltonians and supercharges, corresponding to the latter, can be realized in terms of some appropriately chosen \algthree algebras, and of Pauli spin matrices. Extension to period-$λ$ spectra in terms of $C_λ$-extended oscillator algebras is outlined.

研究の動機と目的

• $C_3$-拡張調和振動子代数$\mathcal{A}^{(3)}_{\alpha_0\alpha_1}$に関連するボソン的調和振動子ハミルトニアンのスペクトルをパrameter$\alpha_0$, $\alpha_1$に基づいて分類すること。
• 無限に周期的配置されたエネルギー準位を有するスペクトルタイプを、周期3の循環的形状不変ポテンシャルと類似するものとして特定すること。
• $\mathcal{A}^{(3)}_{\alpha_0\alpha_1}$代数とパウリスピン行列を用いて、このようなポテンシャルの超対称ハミルトニアンおよび超電荷の階層を実現すること。
• $C_\lambda$-拡張調和振動子代数を用いて$\lambda$-周期系にこの構成を一般化し、周期的スペクトルを保証するパラメータ制約を導出すること。

提案手法

• $C_3$-拡張調和振動子ハミルトニアン$H_0$のスペクトルは、実パラメータ$\alpha_0$, $\alpha_1$に基づく挙動の分類によって分析され、非-degenerateおよびdegenerateな場合が特定される。
• 本稿では、$\mathcal{A}^{(3)}_{\alpha_0\alpha_1}$代数から得られる生成・消滅演算子$a^\dagger_\mu$, $a_\mu$を用い、$\alpha_0$, $\alpha_1$, $\alpha_2 = -\alpha_0 - \alpha_1$の巡回置換により得られるパラメータを用いて、超対称ハミルトニアン$\mathcal{H}^{(\mu)}$および超電荷$Q_\mu$, $Q^\dagger_\mu$を構成する。
• パウリ行列を用いた行列表現により超対称性の階層が実現され、超代数の閉包が保証される。
• $C_\lambda$-拡張調和振動子代数$\mathcal{A}^{(\lambda)}_{\alpha_0\ldots\alpha_{\lambda-2}}$を定義することにより、$\lambda$-周期系への構成を一般化し、制約条件$-1 < \alpha_0 < \lambda-1$, $-1 < \alpha_\mu < \lambda - \mu - 1 - \sum_{\nu=0}^{\mu-1} \alpha\_\nu$（$\mu = 1,\ldots,\lambda-2$）および$\alpha_{\lambda-1} = -\sum_{\nu=0}^{\lambda-2} \alpha_\nu$を導出する。
• $\mathcal{H}^{(\mu)}$のエネルギー準位が$\alpha_\nu$に依存する周波数$\omega_\nu$で周期的に配置されていることが示され、特定のパラメータ集合では調和振動子と同一の準位順序が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラメータ$\alpha_0$, $\alpha_1$のどの範囲が、$C_3$-拡張調和振動子代数$\mathcal{A}^{(3)}_{\alpha_0\alpha_1}$において、無限に周期的配置されたエネルギー準位を有するスペクトルを生成するか？
• RQ2 周期3の循環的形状不変ポテンシャルの超対称ハミルトニアンおよび超電荷を、調和振動子代数とパウリ行列を用いて代数的にどのように実現できるか？
• RQ3 この構成を任意の周期$\lambda$の循環的形状不変ポテンシャルに一般化するにはどうすればよいか？
• RQ4 $C_\lambda$-拡張調和振動子代数における代数パラメータ$\alpha_0, \alpha_1, \ldots, \alpha_{\lambda-2}$に課される、周期的スペクトルを保証する制約は何か？
• RQ5 $C_\lambda$-拡張調和振動子代数は微分作用素として実現可能か？その場合、ハミルトニアンスペクトルの縮退構造にどのような意味を持つのか？

主な発見

• $C_3$-拡張調和振動子代数$\mathcal{A}^{(3)}_{\alpha_0\alpha_1}$は、$-1 < \alpha_0 < 2$, $-1 < \alpha_1 < 1 - \alpha_0$, および$\alpha_2 = -\alpha_0 - \alpha_1$を満たすパラメータ条件下で、無限に周期的配置されたエネルギー準位を有するスペクトルを支持する。これはタイプ(I.1.1)、(II.1.1.1)、(III.1.1.1)に対応する。
• $\alpha_0 = 0$, $\alpha_1 = 1/2$のとき、$\mu = 0,1,2,3$の$\mathcal{H}^{(\mu)}$のスペクトルは周波数$\omega_0 = 1$, $\omega_1 = 3/2$, $\omega_2 = 1/2$で周期的配置され、図8に示されている。
• 超対称ハミルトニアン$\mathcal{H}^{(\mu)}$および超電荷$Q_\mu$, $Q^\dagger_\mu$は、$\alpha_0$, $\alpha_1$, $\alpha_2$の巡回置換により得られるパラメータを用いた$C_3$-拡張調和振動子代数を用いて実現され、超対称性代数の閉包が保証される。
• $C_\lambda$-拡張調和振動子代数を用いた構成は、$\lambda$-周期系に一般化可能であり、パラメータ制約により周期的スペクトルが保証され、準位順序は調和振動子と同型である。
• $\alpha_0$, $\alpha_1$の特定の値では$H_0$スペクトルに縮退が生じるため、任意の微分作用素による実現には少なくとも2つの変数が必要であり、1次元系ではこのような縮退は実現不可能である。