[論文レビュー] Algebraic renormalisation of regularity structures

Yvain Bruned, Martin Hairer+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2016

Advanced Topics in Algebra参考文献 41被引用数 23

ひとこと要約

この論文は、一般化関数を含む非線形項を有する確率的PDEsに対して、明示的で大きな自己同型群を備えた新しい正則性構造のクラスを構築することにより、一般化関数を含む非線形項を有する確率的PDEsに対する正規化手続きを標準的に行う。双代数と双対作用素を用いたcointeractionとねじれ反対元を用いて、従来の連続的群作用に依存する間接的で複雑な正規化手法に代わる直接的なBPHZに類似した正規化を実装する。

ABSTRACT

We give a systematic description of a canonical renormalisation procedure of stochastic PDEs containing nonlinearities involving generalised functions. This theory is based on the construction of a new class of regularity structures which comes with an explicit and elegant description of a subgroup of their group of automorphisms. This subgroup is sufficiently large to be able to implement a version of the BPHZ renormalisation prescription in this context. This is in stark contrast to previous works where one considered regularity structures with a much smaller group of automorphisms, which lead to a much more indirect and convoluted construction of a renormalisation group acting on the corresponding space of admissible models by continuous transformations. Our construction is based on bialgebras of decorated coloured forests in cointeraction. More precisely, we have two Hopf algebras in cointeraction, coacting jointly on a vector space which represents the generalised functions of the theory. Two twisted antipodes play a fundamental role in the construction and provide a variant of the algebraic Birkhoff factorisation that arises naturally in perturbative quantum field theory.

研究の動機と目的

• 一般化関数を含む非線形項を有する確率的PDEsに対する体系的かつ標準的な正規化手続きの構築を目的とする。
• 自己同型群が小さい従来の正則性構造の限界を克服し、間接的で煩わしい正規化構成を避けること。
• BPHZ正規化手続きを直接実装できる十分に大きな自己同型群を備えた、新しい正則性構造のクラスを構築すること。
• この文脈において、代数的Birkhoff分解を自然に実現する、cointeractingホップ代数とねじれ反対元に基づく代数的枠組みを提供すること。

提案手法

• 2つのcointeractingホップ代数が、理論の一般化関数を表すベクトル空間に同時に作用する。
• 新規正則性構造の自己同型群は明示的に記述され、BPHZ正規化手続きを直接実装するのに十分な大きさであることが示された。
• ねじれ反対元が基本的要素として導入され、摂動的量子場理論において自然に生じる代数的Birkhoff分解の変種を提供する。
• 非線形項の組合せ的構造とその正規化を符号化する装飾付き彩色森に基づいてフレームワークが構築された。
• 正規化手続きは連続的群作用をモデル空間に施す必要がなく、代数的に定式化された。
• 双代数とcointeractionの使用により、正規化プロセスの体系的かつ明示的な取り扱いが可能になった。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化関数を含む非線形項を有する確率的PDEsに対して、どのように体系的かつ標準的な正規化手続きを構築できるか？
• RQ2 どのような正則性構造の構造的性質が、BPHZ正規化手続きの直接的実装を可能にするか？
• RQ3 ねじれ反対元と装飾付き彩色森のcointeractingホップ代数は、この文脈における自然な代数的Birkhoff分解にどのように寄与するか？
• RQ4 正則性構造におけるより大きな自己同型群は、従来の手法に比べてより明示的かつ直接的な正規化プロセスを可能にするか？
• RQ5 双代数とcointeractionは、確率的PDEsにおける正規化の組合せ的構造をどのように符号化するか？

主な発見

• 論文は、BPHZ正規化手続きを直接実装できる明示的で十分に大きな自己同型群を備えた、新しい正則性構造のクラスを構築した。
• 装飾付き彩色森の2つのcointeractingホップ代数の使用により、正規化プロセスの体系的かつ代数的取り扱いが可能になった。
• ねじれ反対元は、この文脈において自然に生じる代数的Birkhoff分解の変種を実現する中心的役割を果たす。
• 従来の研究が間接的構成に依存していたのとは異なり、可適モデル空間への連続的群作用の必要性を回避した。
• 正規化手続きは標準的かつ完全に代数的であり、双代数とcointeractionの相互作用に基づき、より透明で明示的な方法をもたらした。
• 理論は、確率的PDEsにおける一般化関数を含む非線形項の正規化を統一的かつ洗練された枠組みで提供する。