[論文レビュー] Algebraic Solution of the Supersymmetric Hydrogen Atom

Andreas Wipf, A. Kirchberg+1 more|ArXiv.org|Nov 23, 2005

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、${\cal N}=2$ supersymmetrical水素原子を$d$次元で代数的に解くため、ラプラス・ランゲ・レンツベクトルを超対称化することで、$SO(d)$回転対称性を隠れた$SO(d+1)$動的対称性へ拡張する。束縛状態のスペクトル、 degeneracies、波動関数は、群論的手法を用いて代数的に導出され、エネルギーは$SO(d+1)$の第二種カシミール作用素によって決定され、微細構造定数およびフェルミオン数に依存する。

ABSTRACT

The N=2 supersymmetric extension of the Schrödinger-Hamiltonian with 1/r-potential in d dimension is constructed. The system admits a supersymmetrized Laplace-Runge-Lenz vector which extends the rotational SO(d) symmetry to a hidden SO(d+1) symmetry. It is used to determine the discrete eigenvalues with their degeneracies and the corresponding bound state wave functions.

研究の動機と目的

• 非超対称水素原子のパウリ＝フォック＝バーグマンの代数的アプローチを、${\cal N}=2$超対称性を有する超対称水素原子へ拡張すること。
• $d$次元におけるラプラス・ランゲ・レンツベクトルの超対称化版を構成し、$SO(d+1)$動的対称性代数を閉じること。
• 超対称量子力学の文脈において、群論的手法を用いて離散的エネルギー準位、縮退、束縛状態波動関数を決定すること。
• 非相対論的クーロン問題を、超対称性と隠れた対称性を保ちつつ$d$次元に一般化すること。
• 束縛状態を記述する$SO(d+1)$の既約表現を特定し、フェルミオン数およびカシミール不変量が果たす役割を明確にすること。

提案手法

• ボソン的およびフェルミオン的部分空間の間で作用する超クーラスを用いて、$1/r$ポテンシャルを有するシュレーディンガーハミルトニアンを$d$次元で超対称化することで、${\cal N}=2$超対称ハミルトニアンを構成する。
• ハミルトニアンと可換であり、かつ$SO(d)$に関してベクトルとして変換する超対称化されたラプラス・ランゲ・レンツベクトル作用素$\boldmathe{C}$を定義する。
• 負エネルギー部分空間上で、$SO(d+1)$代数を閉じるため、エルミート作用素$\boldmathe{K} = \frac{1}{2} \frac{\boldmathe{C}}{\sqrt{-H}}$を導入する。
• 角運動量生成子$L_{ab}$と$K_a$をブロック行列構成により$SO(d+1)$生成子$L_{AB}$に統合し、$so(d+1)$リーリー代数の閉じることを保証する。
• ハミルトニアンを$H = -\frac{\eta^2}{(d-1)^2 + 4\mathcal{C}_{(2)}}$として表現し、ここで$\mathcal{C}_{(2)}$は$SO(d+1)$の第二種カシミール作用素である。
• $d=2n$または$d=2n-1$次元における、$n-1$個のカシミール不変量からの制約を受ける完全対称表現として、$SO(d+1)$の許容される既約表現を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非超対称水素原子の$SO(d+1)$動的対称性を、$d$次元における${\cal N}=2$超対称系へどのように拡張できるか。
• RQ2 超対称化されたラプラス・ランゲ・レンツベクトルの代数的構造は何か。また、それがどのように$SO(d+1)$対称性代数を閉じるか。
• RQ3 超対称水素原子の束縛状態エネルギーおよび縮退は、微細構造定数、空間次元$d$、フェルミオン数、カシミール不変量にどのように依存するか。
• RQ4 超対称水素原子で実現される$SO(d+1)$の既約表現はどれであり、それらは対称性の制約によってどのように選ばれるか。
• RQ5 非超対称系に用いられた代数的手法を、拡張超対称性および行列ハミルトニアンを有する超対称系へ一般化できるか。

主な発見

• 超対称化されたラプラス・ランゲ・レンツベクトルは、角運動量生成子と組み合わせることで、隠れた$SO(d+1)$対称性代数を生成し、$SO(d)$回転対称性を拡張する。
• ハミルトニアンは$H = -\frac{\eta^2}{(d-1)^2 + 4\mathcal{C}_{(2)}}$として代数的に表現され、ここで$\mathcal{C}_{(2)}$は$SO(d+1)$の第二種カシミール作用素である。この表現により、スペクトルの代数的決定が可能になる。
• 束縛状態は、$SO(d+1)$の完全対称既約表現の下で変換し、縮退は群論的数え上げによって決定される。
• エネルギー準位は微細構造定数$\eta$、空間次元$d$、フェルミオン数$\textbf{N}$、およびカシミール$\mathcal{C}_{(2)}$に依存し、高次元における粒子数セクター間の新たな「偶然的」縮退を反映している。
• 超クーラスおよび超ハミルトニアンは行列作用素として構成され、超クーラスは$2d$次元における次元削減されたディラック作用素に等しい。
• 本系は、超対称調和振動子および格子・ウェス＝ツミノモデルを含む広範な超対称モデルを実現し、水素原子はその特定の部分系として存在する。