[論文レビュー] Algebraic structure of countably compact non-torsion Abelian groups of size continuum from selective ultrafilters

Matheus Koveroff Bellini, Ana Carolina Boero+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2019

Advanced Topology and Set Theory参考文献 25被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、選択的超フィルターの存在を用いて、連続体濃度の非ねじれアーベル群が可算コンパクト群位相をもつための分類を確立する。このような群は、非自明な収束列をもつものと持たないものの両方の可算コンパクト位相をもつことが示され、2𝔠 個の選択的超フィルターのもとでは、任意の重み κ ∈ [𝔠, 2𝔠] に対して、2𝔠 個の位相的に同相でないようなそのような位相が存在する。

ABSTRACT

Assuming the existence of $\mathfrak c$ incomparable selective ultrafilters, we classify the non-torsion Abelian groups of cardinality $\mathfrak c$ that admit a countably compact group topology. We show that for each $κ\in [\mathfrak c, 2^\mathfrak c]$ each of these groups has a countably compact group topology of weight $κ$ without non-trivial convergent sequences and another that has convergent sequences. Assuming the existence of $2^\mathfrak c$ selective ultrafilters, there are at least $2^\mathfrak c$ non homeomorphic such topologies in each case and we also show that every Abelian group of cardinality at most $2^\mathfrak c$ is algebraically countably compact. We also show that it is consistent that every Abelian group of cardinality $\mathfrak c$ that admits a countably compact group topology admits a countably compact group topology without non-trivial convergent sequences whose weight has countable cofinality.

研究の動機と目的

• 連続体濃度で、非ねじれアーベル群が可算コンパクト群位相をもつものについて分類すること。
• 非自明な収束列をもつ・もたないようなそのような位相の存在と構造を特定すること。
• 選択的超フィルターの仮定の下で、これらの群に実現可能な位相的に同相でない可算コンパクト群位相の数を調査すること。
• 2𝔠 までのアーベル群について、代数的可算コンパクト性の整合性を探索すること。
• p-コンパクト性とZFCにおける可算コンパクト自由アーベル群の実現可能性に関する未解決問題に取り組むこと。

提案手法

• ω 上に 𝔠 個の比較不能な選択的超フィルターの存在を仮定し、それらを用いて連続体濃度の非ねじれアーベル群に群位相を構成する。
• 特に p-極限の列を活用する選択的超フィルターに基づく群位相構成技法を応用する。
• p-極限点と超フィルター収束の概念を用いて、非自明な収束列をもたないまま可算コンパクト性を保証する。
• G ⊕ W_ω に位相を構成し、既知のモデルからの性質を転送することで、重み κ ∈ [𝔠, 2𝔠] と位相的同相でない性質を保証する。
• 2𝔠 個の選択的超フィルターの存在を用いて、与えられた空間に関連する超フィルターの集合から外れる超フィルターを選択することで、2𝔠 個の位相的に同相でない位相を生成する。
• 特にDikranjan, Tkachenko, Tomitaらの先行研究における擬コンパクトおよび可算コンパクト群位相の結果を応用し、より強い集合論的仮定の下で分類を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 𝔠 個の選択的超フィルターの存在を仮定すると、連続体濃度の非ねじれアーベル群で、非自明な収束列をもたない可算コンパクト群位相をもつのはどれか？
• RQ2 2𝔠 個の選択的超フィルターの存在のもとで、2𝔠 以下の任意のアーベル群が代数的に可算コンパクトであると仮定できるか？
• RQ3 与えられた重み κ ∈ [𝔠, 2𝔠] に対して、このような群に存在しうる位相的に同相でない可算コンパクト群位相はいくつあるか？
• RQ4 連続体濃度のアーベル群が可算コンパクト群位相をもつとき、非自明な収束列をもたず、重みが可算型の特徴を持つ可算コンパクト群位相をもつことは整合的か？
• RQ5 ある選択的超フィルター p に対して、ℤ^(𝔠) × ℚ^(𝔠) に非自明な収束列をもたない p-コンパクト群位相を実現できるか？

主な発見

• 𝔠 個の選択的超フィルターの存在を仮定すると、自由ランク 𝔠 で、すべての d|n に対して dG[n] が有限または 𝔠 個の非ねじれアーベル群は、非自明な収束列をもたない可算コンパクト群位相をもつ。
• 各 κ ∈ [𝔠, 2𝔠] に対して、このような群は、非自明な収束列をもたない重み κ の可算コンパクト群位相をもつ。
• 2𝔠 個の選択的超フィルターの存在を仮定すると、各々のこのような群には、非自明な収束列をもつ・もたない両方の位相的同相でない可算コンパクト群位相が少なくとも 2𝔠 個存在する。
• 2𝔠 個の選択的超フィルターの存在を仮定すると、2𝔠 以下の任意のアーベル群は代数的に可算コンパクトである。
• 連続体濃度のアーベル群が可算コンパクト群位相をもつとき、非自明な収束列をもたず、重みが可算型の特徴を持つ可算コンパクト群位相をもつことは整合的である。
• 目的の空間に関連する超フィルター族から外れる超フィルターを選択することで、位相の非同相性を保証し、非可算な多様性を持つ位相の構成を可能にする。