[論文レビュー] Algebraic structures of groups of birational transformations

Jérémy Blanc|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は代数的多様体の双有理自己同型群に代数的構造を賦与することを目的とし、双有理写像の族をパラメータ化する関手の表現可能性に焦点を当てる。平坦性条件を導入することで Bir(X) にスキーム構造を構成し、全関手 Bir(X) が表現可能でない一方で、平坦な部分関手が n ≥ 2 の P^n に対して well-behaved なスキーム構造をもたらすことを示す。ただし、乗法は連続でなく、n ≥ 3 では平坦関手と次数に基づく関手が異なる。

ABSTRACT

A priori, the set of birational transformations of an algebraic variety is just a group. We survey the possible algebraic structures that we may add to it, using in particular parametrised family of birational transformations.

研究の動機と目的

• 代数的多様体 X の双有理自己同型群 Bir(X) にどのような代数的構造を賦与できるかを理解すること。
• A-族の双有理自己同型をパラメータ化する関手 Bir_X(A) の表現可能性を分析すること。
• 2つの主要な部分関手、すなわち平坦族を表す Bir_X^flat と次数制限族を表す Bir_X^deg の比較、特に P^n 上での比較を行うこと。
• 平坦族から得られるスキーム構造が、Bir(X) 上で well-behaved な位相および代数群に類似した性質をもたらすかを検討すること。

提案手法

• Demazure および Serre の関手的アプローチを用い、基底スキーム A 上の双有理写像族を通じて A → Bir(X) のモルフィズムを定義する。
• A 上で平坦である族からなる部分関手 Bir_X^flat(A) を導入し、これがスキームによって表現可能であることを示す。
• 特に P^n 上の写像に対して、グラフ構成法を用いて双有理写像およびその平坦性を分析する。
• 明示的な例（例えば P^2 や A^n 上のアフィン族）を用いて、全 Bir_X 関手の有界性の欠如と非表現可能性を示す。
• 特に P^n 上で、ヒルベルト多項式および次数の挙動を用いて Bir_X^flat と Bir_X^deg を比較する。
• セグレ埋め込みを用いて、P^8 内の双有理写像のグラフのヒルベルト多項式を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双有理変換の族を表す代表可能な関手を用いて、群 Bir(X) にスキーム構造を賦与できるか？
• RQ2 平坦族の部分関手である Bir_X^flat は表現可能か？ また、P^n 上で well-behaved なスキーム構造をもたらすか？
• RQ3 特に n ≥ 3 のとき、P^n 上で平坦関手 Bir_X^flat と次数に基づく関手 Bir_X^deg はどのように比較できるか？
• RQ4 平坦スキーム位相の下で、Bir(P^n) 上の乗法写像は連続であるか、あるいはモルフィズムであるか？
• RQ5 平坦性条件は、連結成分上で固定された多重次数を持つ族に対応するか？

主な発見

• X = P^2 でさえも、双有理写像の族が無限に増大するため、全関手 Bir_X はスキームや ind-スキームによっても表現不可能である。
• 平坦族からなる部分関手 Bir_X^flat はスキームによって表現可能であり、任意の X に対して Bir(X) 上に明確なスキーム構造を与える。
• n ≥ 2 の P^n に対して、次数 d の写像の集合 Bir(P^n)_d は平坦スキーム構造において開集合である。
• 平坦スキーム位相の下で、Bir(P^n) 上の乗法写像は連続でない。これは、あるモルフィズム ν' の像が次数で飛躍することによって示される。
• n ≥ 3 のとき、Bir_X^flat と Bir_X^deg は等しくない。これは、写像自体の次数が一定であっても逆写像の次数が非定数となる族の例によって示される。
• P^2 では、グラフのヒルベルト多項式が次数 d のみに依存するため、Bir_X^flat = Bir_X^deg であると予想される。