[論文レビュー] Algebraic structures on generalized strings

Vladimir Chernov, Yuli B. Rudyak|ArXiv.org|Jun 8, 2003

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、空間 $\Omega_*(\mathcal{N})$ に付随する 'ガーランド'（マーク付き点を持つ多様体）の写像の bordism 群に、自然な可換な $\mathbb{Z}$-次数付き Lie 環構造を構成する。さらに、操作 $\bullet$ と $[-,-]$ を定義し、$\operatorname{proj}$ と $\operatorname{lift}$ という自己同型を導入し、$\operatorname{proj}(\operatorname{lift}\alpha_1 \bullet \operatorname{lift}\alpha_2) = [\alpha_1, \alpha_2]$ を満たすようにする。これにより、特定の条件下で Batalin–Vilkovyski および Gerstenhaber 環構造が得られ、$P = S^1$ のときには Chas–Sullivan のストリングトポロジーと直接的な類似性を示す。主な貢献は、ストリングトポロジーの操作を統一的かつ一般化する幾何的・bordism論的枠組みを提供することにある。

ABSTRACT

A garland based on a manifold $P$ is a finite set of manifolds homeomorphic to $P$ with some of them glued together at marked points. Fix a manifold $M$ and consider a space $\NN$ of all smooth mappings of garlands based on $P$ into $M$. We construct operations $\bullet$ and $[-,-]$ on the bordism groups $\bor_*(\NN)$ that give $\bor_*(\NN)$ the natural graded commutative assosiative and graded Lie algebra structures. We also construct two auto-homomorphisms $\pr$ and $\li$ of $\bor_*(\NN)$ such that $\pr(\li α_1\bullet \li α_2)= [α_1, α_2]$ for all $α_1, α_2 \in \bor_*(\NN)$. If $P$ is a boundary, then $\pr \circ \li=0$ and thus $Δ^2=0$ for $Δ=\li \circ \pr$. We show that under certain conditions the operations $Δ$ and $\bullet$ give rise to Batalin-Vilkoviski and Gerstenhaber algebra structures on $\bor_*(\NN)$. In a particular case when $P=S^1$, the algebra $\bor_*(\NN)$ is related to the string-homology algebra constructed by Chas and Sullivan.

研究の動機と目的

• 『ガーランド』（マーク付き点を持つ多様体）から目標多様体 $M$ への写像の bordism 群 $\Omega_*(\mathcal{N})$ に、操作 $\bullet$ と $[-,-]$ を定義すること。
• $\operatorname{proj}(\operatorname{lift}\alpha_1 \bullet \operatorname{lift}\alpha_2) = [\alpha_1, \alpha_2]$ を満たすように、自己同型 $\operatorname{proj}$ と $\operatorname{lift}$ を構成し、両操作の間の構造的関係を確立すること。
• 適切な条件下で、$\Delta = \operatorname{lift} \circ \operatorname{proj}$ が $\Delta^2 = 0$ を満たすことを示し、これにより $\Omega_*(\mathcal{N})$ に Batalin–Vilkovyski および Gerstenhaber 環構造を構成できることを示すこと。
• 基底多様体 $P = S^1$ のとき、提案された枠組みと Chas–Sullivan のストリングトポロジーとの間に、直接的な幾何的・代数的類似性が存在することを確立すること。

提案手法

• 空間 $\mathcal{N}$ は、固定された多様体 $P$ のコピーの非交和からなる多様体のマルチマーク付き滑らか写像の空間の直和であり、置換対称性で割ったものとして定義される。
• 代表元としての bordism 同値類に対して、引き戻しと横断的性質を用いて、マーク付き写像とマーク付き点での接続データを介して、操作 $\bullet$ と $[-,-]$ を構成する。
• $\operatorname{proj}$ と $\operatorname{lift}$ は $\Omega_*(\mathcal{N})$ 上の自然変換として定義され、$\operatorname{lift}$ は bordism 同値類を高次元構造に「上げる」性質を持ち、$\operatorname{proj}$ は逆に射影する。
• 横断性とマーク付き多様体の構造を用いて、$\operatorname{proj}(\operatorname{lift}\alpha_1 \bullet \operatorname{lift}\alpha_2) = [\alpha_1, \alpha_2]$ という重要な恒等式を確立する。
• $\Delta = \operatorname{lift} \circ \operatorname{proj}$ が $\Delta^2 = 0$ を満たす条件を分析し、特に $P$ が境界をもつ場合に、Batalin–Vilkovyski および Gerstenhaber 環構造の出現が生じることを示す。
• 基底多様体 $P = S^1$ のとき、$\Omega_*(\mathcal{N})$ 上の操作が $H_*(LM)$ 上のストリングトポロジー操作と一致することを示し、Chas–Sullivan ストリングトポロジーと比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多様体 $M$ へのガーランド写像の bordism 群に、自然な $\mathbb{Z}$-次数付き可換および次数付き Lie 環構造を定義できるか？
• RQ2 $\Omega_*(\mathcal{N})$ 上の操作 $\bullet$ と $[-,-]$ は、自己同型 $\operatorname{proj}$ と $\operatorname{lift}$ を介してどのように関係しているか？
• RQ3 合成 $\Delta = \operatorname{lift} \circ \operatorname{proj}$ が $\Delta^2 = 0$ を満たす条件は何か？ これにより Batalin–Vilkovyski 環構造を構成できるか？
• RQ4 bordism 理論とマーク付き多様体を用いて、$P = S^1$ を超える範囲で Chas–Sullivan ストリングトポロジーを一般化する幾何的・代数的枠組みは存在するか？

主な発見

• bordism 群 $\Omega_*(\mathcal{N})$ には、次数 $-m$ の可換かつ結合的な操作 $\bullet$ が備わっており、$m = \dim M$ である。これにより $\Omega_*(\mathcal{N})$ は $\mathbb{Z}$-次数付き可換代数となる。
• 操作 $[-,-]$ は $\Omega_*(\mathcal{N})$ に次数 $+2$ の次数付き Lie 環構造をもたらす。
• すべての $\alpha_1, \alpha_2 \in \Omega_*(\mathcal{N})$ に対して、恒等式 $\operatorname{proj}(\operatorname{lift}\alpha_1 \bullet \operatorname{lift}\alpha_2) = [\alpha_1, \alpha_2]$ が成り立つ。これにより、二つの操作の間の明確な代数的関係が確立される。
• $P$ が境界をもつとき、$\operatorname{proj} \circ \operatorname{lift} = 0$ であるため、$\Delta = \operatorname{lift} \circ \operatorname{proj}$ に対して $\Delta^2 = 0$ が成り立つ。これは Batalin–Vilkovyski 環構造の成立に必要な重要な条件を満たす。
• $\Delta^2 = 0$ の条件下で、操作 $\bullet$ と $\Delta$ は $\Omega_*(\mathcal{N})$ に次数 $n = 2$ の Batalin–Vilkovyski 環構造をもたらし、誘導された括弧 $\{a,b\}$ は Gerstenhaber 環構造の公理を満たす。
• $P = S^1$ のとき、$\Omega_*(\mathcal{N})$ 上の代数的構造は Chas–Sullivan のストリングトポロジーのものと同型であり、彼らの構成の bordism 論的一般化を提供する。