[論文レビュー] Algebraic structures on typed decorated rooted trees

Loïc Foissy|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2018

Advanced Topics in Algebra参考文献 15被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、確率的PDEの正規化に用いられる型付き装飾付き根付き木における代数的構造を導入・研究し、組合せ的ホップ代数の主要な構成を一般化する。この構造により、型付き装飾付き木の空間が複数の前リー代数をなすことが示され、ギュン＝ウドムおよびコンネス＝クライマー型の関手を用いて関連するホップ代数が構成され、ブルン＝ヘアラー＝ツァンボッティの正規化枠組みがそれら構造の部分商として現れることを証明する。これにより、分野における先行研究が統一的かつ拡張的に扱えるようになった。

ABSTRACT

Typed decorated trees are used by Bruned, Hairer and Zambotti to give a description of a renormalisation processon stochastic PDEs. We here study the algebraic structures on these objects: multiple prelie algebrasand related operads (generalizing a result by Chapoton and Livernet), noncommutative and cocommutative Hopf algebras (generalizing Grossman and Larson's construction),commutative and noncocommutative Hopf algebras (generalizing Connes and Kreimer's construction),bialgebras in cointeraction (generalizing Calaque, Ebrahimi-Fard and Manchon's result). We also define families of morphisms and in particular we prove that any Connes-Kreimer Hopf algebraof typed and decorated trees is isomorphic to a Connes-Kreimer Hopf algebra of non--typed and decoratedtrees (the set of decorations of vertices being bigger), through a contraction process,and finally obtain the Bruned-Hairer-Zambotti construction as a subquotient.

研究の動機と目的

• 確率的PDEの正規化に用いられる型付き装飾付き根付き木のための普遍的な代数的枠組みを構築すること。
• グロスマン＝ラーソンやコンネス＝クライマーなどの例を含む、前リー代数およびホップ代数の構成を、型付き・装飾付きの設定に一般化すること。
• ブルン＝ヘアラー＝ツァンボッティの正規化構成が、この枠組みの部分商として現れることを証明すること。
• 異なるパrameter選択（λ）から得られるホップ代数の間の同型を確立し、構造の堅牢性を示すこと。

提案手法

• 各型 t に対してグラフト演算 ‚t を定義し、型付き D-装飾付き木の空間に T-複数前リー代数構造を構成する。
• ギュン＝ウドムの構成を用いて、前リー積を森の対称代数上にホップ代数構造へと上昇させる。
• コインタクションバイアルゲブラ枠組みを用いて双対ホップ代数を構成し、カラク＝エブライミ＝ファード＝マンホンの一般化を行う。
• ブルン＝ヘアラー＝ツァンボッティの構成をモデル化するため、縮約・抽出コプロダクト δ を導入する。
• 任意のコンネス＝クライマー型ホップ代数（型付き木）が、より大きな装飾集合を持つ非型付き木のホップ代数に縮約過程を用いて同型であることを証明する。
• 非可換的置換的コプロダクトとリヴネルの剛性定理を用いて、パrameter変動下でも同型不変性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 型付き装飾付き根付き木の代数的構造は、非型付きの場合から体系的に一般化可能か？
• RQ2 複数の前リー代数およびそのオペラッドは、型付き木の組合せ論とどのように関係するか？
• RQ3 ブルン＝ヘアラー＝ツァンボッティの正規化枠組みは、より一般的な代数的構成の自然な部分商であるか？
• RQ4 異なるパrameter選択（λ）から得られるホップ代数は同型であるか？ これは正規化不変性に何を意味するか？
• RQ5 コンネス＝クライマー型ホップ代数（型付き木）は、縮約過程を用いて非型付き木のものに還元可能か？

主な発見

• T-型付き D-装飾付き根付き木の空間は、チャポトン＝リヴネルの結果を一般化した自由 T-複数前リー代数をなす。
• T-複数前リー代数のオペラッドは、T-型付きインデックス木によって組合せ的に記述される。
• ギュン＝ウドムの構成による HGLλD,T は、型付きの場合へのグロスマン＝ラーソン代数の一般化である。
• 双対ホップ代数 HCKλD,T は、コンネス＝クライマー代数を一般化し、ホッシャイド・コhomology的普遍性を満たす。
• 任意の非ゼロ λ に対して、ホップ代数 HGLλD,T および HCKλD,T は、他の任意の非ゼロパrameterに対して同型であり、構造的不変性が示された。
• ブルン＝ヘアラー＝ツァンボッティのバイアルゲブラ構成は、構築されたホップ代数枠組みの部分商として実現され、正規化プロセスが統一された。