[論文レビュー] Algebraic Surfaces of General Type with Small c_1^2 in Positive Characteristic

Christian Liedtke|ArXiv.org|Feb 19, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、任意の正の特異度数において、一般型の最小的代数表面に対するネーターの不等式を確立し、$K^2 = 2p_g - 4$ を満たすノエター直線上にあるホリカワ表面を分類する。複素幾何学の古典的結果を拡張し、ファイブレーションおよび変形理論を用いて、特異度数 2 を含むすべての特異度数においてこのような表面を構成し、その標準的モデルと特異点を保ちながら、ウィット環を介して特異度数 0 に上昇させることを証明する。

ABSTRACT

We establish Noether's inequality for surfaces of general type in positive characteristic.Then we extend Enriques' and Horikawa's classification of surfaces on the Noether line, the so-called Horikawa surfaces. We construct examples for all possible numerical invariants and in arbitrary characteristic, where we need foliations and deformation techniques to handle characteristic 2. Finally, we show that Horikawa surfaces lift to characteristic zero.

研究の動機と目的

• 任意の正の特異度数における一般型最小的代数表面に対するネーターの不等式およびノエター直線上の表面（ホリカワ表面）の分類を拡張すること。
• 特異度数 2 における技術的困難、特に標準写像が非分離となる場合に、$p$-閉ファイブレーションと商構成を用いてそれを解決すること。
• ホリカワ表面のすべての可能な数的不変量が、特異度数 2 を含むすべての特異度数において実現可能であることを示すこと。
• ホリカワ表面が、その標準的モデルおよび特異点の解消について、変形理論と同時解消技術を用いてウィット環 $W(k)$ を介して特異度数 0 に上昇可能であることを証明すること。
• ホリカワ表面の $3$-標準写像が $p_g = 3$ の場合に双有理的でないことを示し、双曲的曲線の性質を一般化すること。

提案手法

• ベルティーニの定理に依存しないように、特異曲線におけるクラッフォードの定理を用いて、複素幾何学の古典的議論を正の特異度数に適応する。
• 特異度数 2 における非分離標準写像を持つ表面を構成するため、$p$-閉ファイブレーションを用い、商特異点を丁寧に分析する。
• 変形理論を用いて、特異度数 2 における非分離標準写像を持つ表面が、分離写像を持つ表面に変形可能であることを示し、$p_g$ および標準像を保存することを保証する。
• グロタンディークの存在定理と変形理論を用いて、特異度数 $k$ 上の滑らかな有理的表面およびラインバンドルをウィット環 $W(k)$ を介して上昇させる。
• アーツィンのデュ・ヴァル特異点の同時解消を用いて、ホリカワ表面の解消を、$W(k)$ のおそらく分岐する拡大上に上昇させる。
• ラインバンドルの切断を用いた二重被覆としてホリカワ表面を構成し、ホリカワの元々の方法を正の特異度数に一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の特異度数における一般型最小的代数表面に対して、ネーターの不等式 $K^2 \geq 2p_g - 4$ が成り立つか。
• RQ2 ホリカワ表面のすべての可能な数的不変量が、特異度数 2 を含む正の特異度数において実現可能か。
• RQ3 特異度数 2 において非分離標準写像を持つホリカワ表面は、分離写像を持つ表面に変形可能か。
• RQ4 正の特異度数におけるホリカワ表面の標準的モデルは、ウィット環 $W(k)$ を介して上昇可能か。
• RQ5 $p_g = 3$ のホリカワ表面の $3$-標準写像は、複素数の場合と同様に双有理的でないか。

主な発見

• 任意の特異度数において、一般型最小的代数表面に対してネーターの不等式 $K^2 \geq 2p_g - 4$ が成り立ち、標準系が線形系に含まれる場合かつ $p_g \geq 3$ のとき、より強い不等式 $K^2 \geq 2p_g - 2$ が成立する。
• 任意の特異度数におけるホリカワ表面は、その標準写像を介して有理的表面の二重被覆である。標準像は、滑らか（$ oneq olinkurl{\mathbb{P}^2}$ または $ olinkurl{\mathbb{F}_d}$ に同型）または有理正規曲線の錐である。
• 特異度数 2 において、分離および非分離の両方の標準写像を持つホリカワ表面が存在し、$p$-閉ファイブレーションと変形技術を用いて構成される。
• 特異度数 2 において非分離標準写像を持つすべてのホリカワ表面は、$p_g$ および標準像を保ちながら、分離写像を持つ表面に変形可能である。
• 任意のホリカワ表面の標準的モデルはウィット環 $W(k)$ を介して上昇可能であり、表面全体は、$W(k)$ のおそらく分岐する拡大上に代数的空間として上昇可能である。
• $p_g = 3$ のホリカワ表面の $3$-標準写像は双有理的でないことが確認され、双曲的曲線の性質の2次元一般化が裏付けられた。