[論文レビュー] Algebraic theta functions and Eisenstein-Kronecker numbers

Kenichi Bannai, Shinichi Kobayashi|ArXiv.org|Sep 5, 2007

Advanced Mathematical Identities参考文献 21被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、Mumfordの代数的テータ関数の理論を用いて、Eisenstein-Kronecker数を2変数p進測度で補間するものであり、虚二次体上のHeckeキャラクタのp進L関数の構成を可能にする。主な貢献は、Kroneckerテータ関数から得られる母関数を介したL関数の特別値のp進補間であり、古典的結果をCM設定に拡張している。

ABSTRACT

In this paper, we give an overview of our previous paper concerning the investigation of the algebraic and $p$-adic properties of Eisenstein-Kronecker numbers using Mumford's theory of algebraic theta functions.

研究の動機と目的

• 虚二次体上でのp進L関数のcyclotomic構成を、代数的テータ関数を用いて拡張すること。
• CM楕円曲線上のHeckeキャラクタに対して、Eisenstein-Kronecker数を補間するp進測度を確立すること。
• Yager、Manin-Vishik、Katzの2変数p進L関数の構成を、CM設定に一般化すること。
• テータ関数と形式的群を用いた、L関数の特別値の幾何的・代数的枠組みを提供すること。

提案手法

• Eisenstein-Kronecker数を、格子上の指数関数的キャラクタと複素共役の累乗の和として定義する。
• Kroneckerテータ関数を、Eisenstein-Kronecker数の母関数として導入し、Jacobiテータ関数とは指数因子の違いにより区別される。
• Mumfordの代数的テータ関数の理論を用いて、母関数がQ上代数的であり、W上p進的であることを示す。
• 乗法的群の形式的群におけるテータ関数のべき級数展開を用いて、p進測度を構成する。
• W[[T]]におけるp進測度とべき級数の標準的辞書を適用し、Eisenstein-Kronecker数を補間する測度を定義する。
• 測度を(Z_p^×)^2に制限し、分布公式を用いてL値の補間性質を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Eisenstein-Kronecker数は、虚二次体上のHeckeキャラクタのL関数の特別値としてどのように解釈できるか？
• RQ2 Eisenstein-Kronecker数を補間する2変数p進測度を構成し、それによってp進L関数を得られるか？
• RQ3 Kroneckerテータ関数は、Eisenstein-Kronecker数の代数的およびp進的性質を実現するために果たす役割は何か？
• RQ4 テータ関数の代数的およびp進的構造は、p進L関数の構成とどのように関係するか？

主な発見

• Eisenstein-Kronecker数の母関数はKroneckerテータ関数で与えられ、Mumfordの理論により代数的かつp進的である。
• テータ関数のべき級数を形式的群において用いることで、Eisenstein-Kronecker数を補間するp進測度μ_{z₀,w₀}が構成される。
• 測度は、∫ x^{b-1}y^a dμ_{z₀,w₀}(x,y) = (-1)^{a+b-1}(b-1)! e^*_{a,b}(z₀,w₀)/A^a という補間性質を満たし、正規化係数を除いて成り立つ。
• Heckeキャラクタの和として定義される測度μ_φは、HeckeL関数の臨界値を補間し、Yagerの補間公式と一致する。
• [BK2]で開発された非p整数べき級数の一般化された分布理論を用いて、特異的状況への拡張が可能である。
• 同じ測度枠組みを用いることで、Manin-VishikおよびKatzの2変数p進L関数が回復される。