[論文レビュー] Algebraic totality, towards completeness

Christine Tasson|ArXiv.org|Dec 11, 2009

Logic, programming, and type systems参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ゼロを含まない閉じたアフィン部分空間である全性候補を備えた有限性空間を用いて、古典的線形論理の代数的かつ位相的モデルを提示する。代数幾何学を用いて、$τ^{n} \to \mathcal{B}$ の断片についての完全性を確立し、ブール値上のすべての全性命題関数が、条件分岐を備えた単純型付きラムダ計算で定義可能であることを証明する。

ABSTRACT

Finiteness spaces constitute a categorical model of Linear Logic (LL) whose objects can be seen as linearly topologised spaces, (a class of topological vector spaces introduced by Lefschetz in 1942) and morphisms as continuous linear maps. First, we recall definitions of finiteness spaces and describe their basic properties deduced from the general theory of linearly topologised spaces. Then we give an interpretation of LL based on linear algebra. Second, thanks to separation properties, we can introduce an algebraic notion of totality candidate in the framework of linearly topologised spaces: a totality candidate is a closed affine subspace which does not contain 0. We show that finiteness spaces with totality candidates constitute a model of classical LL. Finally, we give a barycentric simply typed lambda-calculus, with booleans ${\mathcal{B}}$ and a conditional operator, which can be interpreted in this model. We prove completeness at type ${\mathcal{B}}^n o{\mathcal{B}}$ for every n by an algebraic method.

研究の動機と目的

• 有限性空間および線形位相を備えたベクトル空間に基づいて、古典的線形論理の代数的かつ位相的枠組みを構築すること。
• ゼロを含まない閉じたアフィン部分空間としての全性候補という新しい概念を導入し、全性の幾何的・代数的特徴付けを提供すること。
• ブール値と条件分岐を備えた単純型付きラムダ計算における型 $\mathcal{B}^n \to \mathcal{B}$ についての完全性を確立すること。
• 証明項を体上の多項式関数として解釈することにより、線形論理の意味論と代数幾何学を結びつけること。
• 安定性と全性がこのモデルにおいて独立な概念であることを示し、非安定的だが全性である $\mathtt{POr}$ 関数を例に挙げること。

提案手法

• 体 $\mathbbm{k}$ 上の線形位相を備えたベクトル空間としての有限性空間を定義し、その準同型を連続線形写像として定める。
• 原点を含まない閉じたアフィン部分空間としての全性候補を導入し、古典的線形論理のモデルを構成する。
• ブール値 $\mathcal{B}$ と条件分岐演算子を備えた重心的単純型付きラムダ計算を構築する。
• 項を $\mathbbm{k}[X_1, \dots, X_{2n}]$ 内の多項式関数として解釈し、サポート上の評価により意味論を定義する。
• ヒルベルトのノンステルゼンサツと多項式除法を用いて、多様体 $X_{2i-1} + X_{2i} = 1$ に消える任意の多項式が、定義多項式の線形結合であることを証明する。
• 代数的再構成を適用し、任意の全性証明項を基本的ブール項と条件分岐構造の組み合わせとして表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形位相を備えたベクトル空間上の代数的・位相的構造を用いて、古典的線形論理の圏的モデルを構築可能か？
• RQ2 この設定における全性候補の代数的・位相的特徴付けは何か？
• RQ3 条件分岐を備えた単純型付きラムダ計算において、型 $\mathcal{B}^n \to \mathcal{B}$ の断片について完全性は達成可能か？
• RQ4 このモデルにおいて安定性と全性の関係は何か—非安定関数が全性になり得るか？
• RQ5 代数幾何学的手法を用いて、線形論理の意味論における完全性を証明可能か？

主な発見

• 有限性空間に全性候補を備えると、全性がゼロを含まない閉じたアフィン部分空間として特徴付けられる古典的線形論理のモデルが構成される。
• このモデルは、ブール値と条件分岐演算子を備えた単純型付きラムダ計算をサポートし、その意味論は多項式関数によって完全に記述可能である。
• すべての型 $\mathcal{B}^n \to \mathcal{B}$ について完全性が成立する：すべての全性関数がこの計算における項として定義可能である。
• 証明は、任意の多項式が多様体 $\{X_{2i-1} + X_{2i} = 1 \mid 1 \leq i \leq n\}$ に消えるならば、$X_{2i-1} + X_{2i} - 1$ によって生成されるイデアルに属することに依拠しており、ヒルベルトのノンステルゼンサツによる。
• 非安定的だが全性である $\mathtt{POr}$ 関数は全性であり定義可能であり、このモデルにおいて全性が安定性を含まないことを示している。
• 重心的項構成により、任意の全性証明を基本的ブール項と条件分岐の組み合わせとして表現可能であり、明示的な多項式再構成が可能である。