[論文レビュー] "Algebraic truths" vs "geometric fantasies": Weierstrass' Response to Riemann

Umberto Bottazzini|ArXiv.org|May 1, 2003

History and Theory of Mathematics参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、アーベル積分のヤコビ逆問題を解くというリーマンの複素関数論における幾何的アプローチに対して、ワイエルシュトラスが示した批判的反応を検討する。ワイエルシュトラスは、幾何的直感や偏微分に依存するリーマンの手法を拒否し、収束するべき級数と算術的基礎に立脚した関数論を構築した。その結果、連続的だが至るところ微分不可能な関数の構成や、ディリクレの原理に対する反例が生じた。

ABSTRACT

In the 1850s Weierstrass succeeded in solving the Jacobi inversion problem for the hyper-elliptic case, and claimed he was able to solve the general problem. At about the same time Riemann successfully applied the geometric methods that he set up in his thesis (1851) to the study of Abelian integrals, and the solution of Jacobi inversion problem. In response to Riemann's achievements, by the early 1860s Weierstrass began to build the theory of analytic functions in a systematic way on arithmetical foundations, and to present it in his lectures. According to Weierstrass, this theory provided the foundations of the whole of both elliptic and Abelian function theory, the latter being the ultimate goal of his mathematical work. Riemann's theory of complex functions seems to have been the background of Weierstrass's work and lectures. Weierstrass' unpublished correspondence with his former student Schwarz provides strong evidence of this. Many of Weierstrass' results, including his example of a continuous non-differentiable function as well as his counter-example to Dirichlet principle, were motivated by his criticism of Riemann's methods, and his distrust in Riemann's ``geometric fantasies''. Instead, he chose the power series approach because of his conviction that the theory of analytic functions had to be founded on simple "algebraic truths". Even though Weierstrass failed to build a satisfactory theory of functions of several complex variables, the contradiction between his and Riemann's geometric approach remained effective until the early decades of the 20$^{th}$ century.

研究の動機と目的

• リーマンのアーベル関数および複素関数論における幾何的アプローチに対するワイエルシュトラスの哲学的・数学的反応を分析すること。
• 収束べき級数に基づく厳密な算術的基礎を用いて、解析関数をどのように構築したかを説明すること。
• ワイエルシュトラスの反例（連続的だが至るところ微分不可能な関数、自然境界を持つべき級数など）が、リーマンの仮定をどのように覆したかを調査すること。
• 複素解析の発展における、ワイエルシュトラスの「代数的真実」とリーマンの「幾何的幻想」の間の歴史的・概念的対立を明確にすること。
• この基礎的論争が、特に複素変数関数論の発展に与えた長期的影響を評価すること。

提案手法

• ワイエルシュトラスは、一様収束べき級数を用いて解析関数を構成し、このような級数が複素関数論の唯一の厳密な基礎であると主張した。
• 楕円・シータ関数の線形変換の理論を応用し、特定のギャップを持つべき級数が自然境界を持つこと、したがって解析接続が不可能であることを示した。
• ab > 1 + ³⁄₂π を満たすべき級数 ∑bⁿx^{aⁿ} の例を用いて、|x| = 1 が自然境界であることを証明し、至るところ微分不可能な関数と非継続的関数との間に結びつきを確立した。
• ディリクレの原理に対する反例を構成することで、ディリクレ積分条件を満たすが最小値をとらない関数を提示し、リーマンの変分法に疑問を呈した。
• 1つのべき級数が収束領域が不連続な領域において、それぞれ異なる解析関数を表しうることを示し、単一関数的関数（monogenic functions）が算術的に定義された関数と常に一致しないことを証明した。
• 彼は、偏微分に依存するリーマンの手法よりも、べき級数のアプローチを複素変数関数へと体系的に拡張した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ワイエルシュトラスの複素関数論における基礎的アプローチは、リーマンの幾何的手法とどのように根本的に異なっていたか？
• RQ2 リーマンが解析接続やディリクレの原理に関して仮定していた事項に反する、ワイエルシュトラスが具体的に構成した反例は何か？
• RQ3 なぜワイエルシュトラスは複素関数を定義する際に偏微分の使用を拒否したのか？また、彼はなぜべき級数に依拠することを正当化したのか？
• RQ4 ワイエルシュトラスの自然境界や至るところ微分不可能な関数に関する研究が、関数論におけるリーマンの幾何的直感にどの程度影響を与えたか？
• RQ5 ワイエルシュトラスの算術的基礎とリーマンの幾何的直観との間に生じた未解決の緊張は、20世紀にかけて複素解析の発展にどのように影響したか？

主な発見

• ワイエルシュトラスは、1つのべき級数が不連続な領域で収束し、それぞれの領域で異なる解析関数を表しうることを示し、単一関数的関数の概念が算術的に定義された関数と完全に一致しないことを証明した。
• ab > 1 + ³⁄₂π を満たすべき級数 ∑bⁿx^{aⁿ} は、|x| = 1 が自然境界であることを示し、この円を越えては解析接続できないことを意味する。
• ギャップを持つべき級数を用いて、連続的だが至るところ微分不可能な関数を構成し、幾何的直感が複素解析において誤解を招く可能性があることを強力に裏付けた。
• ディリクレの原理に対する反例を提示することで、ディリクレ積分条件を満たすが最小値をとらない関数を示し、リーマンの変分法に疑問を呈した。
• 彼の広範な研究にもかかわらず、ワイエルシュトラスは複素変数関数の理論を完全に厳密に発展させることはできず、一般のヤコビ逆問題は部分的にしか解決されなかった。
• ワイエルシュトラスの算術的基礎とリーマンの幾何的洞察との間の対立は、20世紀初頭まで続いたが、複素変数関数論の現代的理論がついに確立された。