[論文レビュー] Algebraic twists of $\mathrm{GL}_3 imes \mathrm{GL}_2$ $L$-functions

Yongxiao Lin, Philippe Michel+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2019

Advanced Algebra and Geometry参考文献 21被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、素数を法とする『良い』層のトレース関数とGL₃ × GL₂ ランキン・セルバーグL関数の係数との間の相関がないことを示すことにより、代数的ターニングを伴うGL₃ × GL₂ ランキン・セルバーグL関数の部分凸界を確立する。高度な層論的技法と指数和の推定を用いて、X ≈ q³ の場合に形式 $\ll Z q^{3 - 1/16 + o(1)}$ の非自明な部分凸界を達成し、ディリクレ指標やクローストマン和に対する既存の結果を、代数的ターニングの広いクラスへと拡張する。

ABSTRACT

We prove that the coefficients of a $\mathrm{GL}_3 imes \mathrm{GL}_2$ Rankin--Selberg $L$-function do not correlate with a wide class of trace functions of small conductor modulo primes, generalizing the corresponding result \cite{FKM1} for~$\mathrm{GL}_2$ and \cite{KLMS} for $\mathrm{GL}_3$. This result is inspired by a recent work of P. Sharma who discussed the case of a Dirichlet character of prime modulus.

研究の動機と目的

• ディリクテ指標から『良い』層のトレース関数による代数的ターニングへのGL₃ × GL₂ L関数の部分凸性結果を一般化すること。
• 素数を法とするGL₃ × GL₂ 自動形式係数と『良い』層のトレース関数との間の相関がないことを確立すること。
• q-側面において、凸性界 $q^{3/2+o(1)}$ を $q^{3 - 1/16 + o(1)}$ に改善すること。
• 一般モノドロミーおよび勾配条件を満たす層に対して、部分凸性フレームワークを拡張すること。これにはハイパークローストマンおよび対称冪層が含まれる。
• 算術級数における係数の分布のレベルおよび加法的ターニング付き指数和への応用を提供すること。

提案手法

• 近似関数方程式を用いて、部分凸性問題を重み付き和 $S_V^t(K, X) = \sum_{r,n} \lambda(r,n)\lambda_f(n) K(nr^2) V(nr^2/X)$ の評価に還元する。
• 層論的枠組みの適用：$K$ は $\mathbb{P}^1_{\mathbb{F}_q}$ 上の『良い』層 $\mathcal{F}$ のトレース関数であり、(MO)、(SL) を満たし、フーリエ的である。
• メリン変換および $L(\phi \times f \times K, s)$ の関数方程式を用い、GL₆ 変換 $K^\vee_6$ と関連付ける。
• $\ell$-adic フーリエ変換および $\ell$-adic 層の理論を用いて、層 $\mathcal{F}$ 及びそのモノドロミー性質を通じて和を分析する。
• デリーニュの評価およびラマヌジャン＝ピーターソン予想（$\theta_3 = 5/14$ を用いて）により、個々の指数和を制御する。
• GL₆-ターニングおよび GL₃-ターニングの技法を用い、$\ell$-adic コホロロジーおよびグロテンディーク＝リーマン・ローツのトレース公式を通じて和を扱う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ディリクテ指標を超える代数的ターニングに対して、GL₃ × GL₂ $L$-関数の部分凸界を確立できるか？
• RQ2 どの条件を満たせば、$\ell$-adic 層のトレース関数が GL₃ × GL₂ 自動形式係数と相関しないか？
• RQ3 層のモノドロミーおよび勾配構造が、ターニング付き $L$-関数におけるキャンセルにどのように影響するか？
• RQ4 代数的ターニングを用いることで、算術級数における係数の分布のレベルを $\vartheta = 2/7$ を超えて改善できるか？
• RQ5 和 $\sum \lambda(r,n)\lambda_f(n) K(nr^2) V(nr^2/X)$ において、非自明なキャンセルが発生する $X$ の最適範囲は何か？

主な発見

• 著者らは、$K$ が『良い』層のトレース関数である場合、$X \approx q^3$ のとき非自明な部分凸界 $S_V^t(K, X) \ll Z q^{3 - 1/16 + o(1)}$ を証明した。
• この界は、$X \gg q^{3 - 1/4 + \eta}$（$\eta > 0$）のとき非自明であり、和におけるキャンセルを示している。
• X = q³ の場合、凸性界 $q^{3/2+o(1)}$ が $q^{3 - 1/16 + o(1)}$ に改善され、ディリクテ指標に対する既知の最良部分凸界と一致する。
• この結果は、$k \geq 3$ のハイパークローストマン層 $K\ell_k$（$k=2$ を除く）および対称冪層 $\mathrm{Sym}^k \circ [\times\lambda]^* K\ell_2$ に適用可能である。
• 加法的ターニング $K(n) = e(an/q)$ の場合、$X \gg q^{3 - 1/16 + \delta}$ の範囲で $S_V^t(K, X) \ll q^{3 - 1/16 + o(1)}$ が得られ、従来の方法の範囲を超えて拡張される。
• 算術級数における係数 $\lambda_F(m)$ の分布のレベルは $\vartheta_6 = 2/7$ に改善され、より短い和に対する非自明な評価によりさらなる改善が可能である。