[論文レビュー] Algebraic Type Theory and Universe Hierarchies

Jonathan Sterling|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2019

Logic, programming, and type systems参考文献 25被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、Russell型のユニバースを含む、完全に代数的なマルティン・ローフ型理論の定式化を提示し、このようなユニバースが明示的な拡張を必要とせずに代数的にモデル化可能であることを示している。計算可能性モデルと初期代数の意味論を用いて、依存関数、ユニバース、および2要素の基本型を備えた型理論における正規性の証明を、完全に代数的に行っている。

ABSTRACT

It is commonly believed that algebraic notions of type theory support only universes à la Tarski, and that universes à la Russell must be removed by elaboration. We clarify the state of affairs, recalling the details of Cartmell's discipline of _generalized algebraic theory_, showing how to formulate an algebraic version of Coquand's cumulative cwfs with universes à la Russell. To demonstrate the power of algebraic techniques, we sketch a purely algebraic proof of canonicity for Martin-Löf Type Theory with universes, dependent function types, and a base type with two constants.

研究の動機と目的

• 代数的型理論はTarski型のユニバースしかモデル化できないという誤解を解き、ラッセル型のユニバースも代数的に定義可能であることを示すこと。
• well-formednessと等価性の判断の適切な段階化を伴う、一般化代数的理論（GATs）の洗練された、現代的な提示を構築すること。
• 依存関数、ユニバース、および基本型を備えた型理論のコア体系における正規性が、完全に代数的に行えることを示すこと。
• 初期代数に基づく計算可能性モデルの構成が、ラッセル型のユニバースの解釈を可能とし、正規性の証明を可能にすることを示すこと。
• 計算可能性モデルから元の型理論への射影が、等価性と項構造を保存することを確立し、正規値の抽出を可能にすること。

提案手法

• well-formednessのチェックを簡素化するため、前提条件を伴う現代的で段階的な一般化代数的理論（GATs）の形式的定式化。
• 各項がユニバースの階層内の実現者（証明項）を持つ、文脈の圏上のグリューニング構成としての計算可能性モデルの定義。
• 初期代数を用いた圏論的設定において、文脈、代入、型生成子（依存関数型やユニバースを含む）の解釈。
• ラッセル型のユニバースを、サイズでインデックス付けされた論理的ファミリーの族として解釈し、実現者を累積的階層Vαにとること。
• 型理論TΠ_cwfの初期モデルCの初期性を用いて、基本型El(· ⊢ color)の閉じた項Mが、赤または緑のいずれかの正規コンストラクタに等しいことを保証すること。
• 実現者を無視するが等価性と項構造を保存する、計算可能性モデルから標準型理論への射影関手πの適用。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化代数的型理論内で、型エンコードや拡張を必要とせずに、ラッセル型のユニバースを代数的にモデル化できるか？
• RQ2 依存関数型、ラッセル型のユニバース、および2つの定数を備えた基本型を備えた型理論について、完全に代数的・圏論的手段を用いて正規性を証明できるか？
• RQ3 計算可能性モデルをどのように変更すれば、証明の不変性と累積性を保ちつつ、ラッセル型のユニバースを解釈できるか？
• RQ4 初期性が、基本型の閉じた項が正規値に簡約されることを保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 計算可能性モデルから標準型理論への射影が、等価性と項構造を保存することを示せるか？

主な発見

• ラッセル型のユニバースは、サイズでインデックス付けされた論理的ファミリーの族としてモデル化し、実現者を累積的階層Vαにとることで、一般化代数的型理論内で代数的に解釈可能である。
• 計算可能性モデルの構成により、依存関数、ユニバース、および2要素の基本型を備えたマルティン・ローフ型理論における正規性の完全な代数的証明が得られた。
• 型理論TΠ_cwfの初期モデルCにより、型El(· ⊢ color)の閉じた項Mが、赤または緑のいずれかに等しいことが、射影πと初期性の普遍性によって示された。
• 計算可能性モデルから標準型理論への射影関手πは、TΠ_cwf代数の準同型であり、等価性と項構造を保存する。
• 型の昇格の解釈は適切に定義されており、累積的階層を尊重しており、⇑βαAがAと同じ要素を持つことを保証する。
• 依存関数型の解釈は、閉じた文脈とその実現者をインデックスとする関数の族として与えられ、適用と抽象化の明示的取り扱いが行われている。