[論文レビュー] Algebraic Values of Transcendental Functions at Algebraic Points

Jing-Jing Huang, Diego Marques+1 more|ArXiv.org|Aug 20, 2008

Meromorphic and Entire Functions参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、任意の代数的数の可算部分集合が、超越的整関数の例外的集合であることを証明している。つまり、その関数はこれらの点を代数的数に写像するが、それ以外の点では代数的出力を避ける。再帰的に定義された多項式と級数の収束に基づく構成的技法を用いて、既存の超越関数が代数的点で代数的値を取ることに関する結果を一般化し、$ e^z $、$ 2^z $、$ \sin(\pi z)e^z $ などの既知の例を一つの枠組みで統一する。

ABSTRACT

In this paper, the authors will prove that any subset of $\overline{\QQ}$ can be the exceptional set of some transcendental entire function. Furthermore, we could generalize this theorem to a much more general version and present a unified proof.

研究の動機と目的

• 代数的数の可算部分集合が複素数平面に稠密に写像される超越的整関数に関するスタッケルの結果を一般化すること。
• 任意の可算部分集合 $ A \subseteq \overline{\mathbb{Q}} $ が、ある超越的整関数 $ f $ の例外的集合 $ S_f = \{\alpha \in \overline{\mathbb{Q}} \mid f(\alpha) \in \overline{\mathbb{Q}}\} $ として実現可能であることを確立すること。
• 代数的点における指定された導関数値を満たすような関数の存在を、統一的かつ構成的証明すること。
• 超越的整関数の例外的集合が、$\overline{\mathbb{Q}}$ の任意の可算部分集合（有限、余有限、無限集合を含む）として実現可能であることを示すこと。

提案手法

• 可算集合 $ A \subseteq \overline{\mathbb{Q}} $ の列挙 $\{\alpha_n\}$ を用いて、再帰的に $ P_n(z) = (z - \alpha_{j_n})P_{n-1}(z) $ で定義されるモニック多項式 $ P_n(z) $ の列を構成する。
• 各 $ \alpha_{j_n} $ の重複度を追跡するため、$ i_n = m_n + 1 - j_n $ を定義し、$ P_n^{(i_n)}(\alpha_{j_n}) \neq 0 $ となるように保証する。
• 係数 $ a_k $ を選んで、級数 $ f(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k P_k(z) $ が、すべての $ s \geq 0 $ に対して $ f^{(s)}(\alpha_j) \in E_{\alpha_j,s} $（$ \mathbb{C} $ に稠密な部分集合）を満たすようにする。
• $ |a_k| \leq \frac{1}{C_k k!} $ かつ $ C_k $ が $ |P_k(z)| $ の上界であるようにする。これにより、コンパクト集合上で絶対的かつ一様収束が保証され、$ f $ は整関数であることが示される。
• 補題3を用いて、$ P_k $-基底における係数の一意性を証明し、$ f $ が多項式でない（したがって超越的である）ことを保証する。
• 帰納法を用いて $ a_k $ を選択し、$ f^{(i)}(\alpha_j) \in E_{\alpha_j,i} $ を満たすようにする。この際、臨界点における $ P_k^{(i_n)}(\alpha_{j_n}) $ の非ゼロ性を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の可算部分集合 $ A \subseteq \overline{\mathbb{Q}} $ が、ある超越的整関数 $ f $ の例外的集合 $ S_f $ として実現可能か？
• RQ2 代数的点を指定された $ \mathbb{C} $ の稠密部分集合（代数的値を含む）に写像する超越的整関数を生成する一様な構成法は存在するか？
• RQ3 代数的点 $ \alpha $ におけるすべての導関数値 $ f^{(s)}(\alpha) $ を、指定された稠密集合 $ E_{\alpha,s} $ に制御可能か？
• RQ4 構成された関数 $ f $ が多項式ではなく超越的関数であることを保証する条件は何か？

主な発見

• 任意の可算部分集合 $ A \subseteq \overline{\mathbb{Q}} $ に対して、$ S_f = A $ すなわち $ f(\alpha) \in \overline{\mathbb{Q}} $ となることが $ \alpha \in A $ である場合に限るような超越的整関数 $ f $ が存在する。
• この構成法により、代数的点における指定された導関数値条件を満たす、非可算個のこのような超越的整関数が得られる。
• 関数 $ f(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k P_k(z) $ は整関数かつ超越的であり、係数 $ a_k $ はすべての $ s \geq 0 $ および $ \alpha_j \in A $ に対して $ f^{(s)}(\alpha_j) \in E_{\alpha_j,s} $ を満たすように選ばれている。
• この方法は既知の例を一般化する：$ f_4(z) = 2^z $ は $ S_{f_4} = \mathbb{Q} $ を満たし、$ f_5(z) = e^{i\pi z} $ は $ S_{f_5} = \mathbb{Q} $ を満たす。また、スハヌエル予想のもとでは $ f_6(z) = \sin(\pi z)e^z $ は $ S_{f_6} = \mathbb{Z} $ を満たす。
• 証明により、すべての $ s \geq 0 $ および $ \alpha_j \in A $ に対して $ f^{(s)}(\alpha_j) \in E_{\alpha_j,s} $ が成り立ち、$ E_{\alpha_j,s} $ は $ \mathbb{C} $ に稠密である。また、$ P_k $-基底における係数の一意性により、関数 $ f $ は多項式ではないことが保証される。
• 例外的集合 $ S_f $ は、$ \overline{\mathbb{Q}} $ の任意の可算部分集合として実現可能であり、有限集合、$ \mathbb{Q} $、$ \mathbb{Z} $、$ \mathbb{N} $ などを含む、$ E_{\alpha,s} $ の選択に応じて異なる。