[論文レビュー] Algebraic weighted colimits

Seerp Roald Koudenburg|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2013

Advanced Topics in Algebra参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、プロモーチズム（設備）を備えた2カテゴリに代数的重み付き余極限を導入し、古典的余極限、カーン拡張、豊かさ付き圏の構成を一般化する。閉設備において、点付き重み付き余極限と代数的に定義された重み付き余極限が一致することを確立し、また、設備上のモノイドに対する代数の忘却関手に沿って、重み付き余極限が弱い条件下で持ち上がることを証明し、ゲッツラーの対称モノイド的左カーン拡張に関する結果を拡張する。

ABSTRACT

In this thesis weighted colimits in 2-categories equipped with promorphisms are studied. Such colimits include most universal constructions with counits, like ordinary colimits in categories, weighted colimits in enriched categories, and left Kan extensions. In the first chapter we recall the notion of 2-categories equipped with promorphisms (also simply called equipments), that provide a coherent way of adding bimodule-like morphisms to a 2-category. In the second chapter we recall two ways of defining weighted colimits in equipments. Most important to us is their original definition, introduced by Wood, in equipments that are endowed with a closed structure. The second notion, of what we call pointwise weighted colimits, was introduced by Grandis and Paré. It requires no extra structure and generalises Street's notion of pointwise left Kan extensions in 2-categories. The main result of the second chapter gives a condition, on closed equipments, under which these two notions coincide. In the third chapter we consider monads on equipments. The main idea of this thesis, given in the fourth chapter, generalises the notions of lax and colax morphisms, of algebras over a 2-monad, to notions of lax and colax promorphisms, of algebras over a monad on an equipment. One of these, that of right colax promorphisms, is well suited to the construction of weighted colimits. In particular, given a monad T on an equipment K, we will show that T-algebras, colax T-morphisms and right colax T-promorphisms form a double category T-rcProm. Although weaker than equipments, double categories still allow definition of weighted colimits, and our main result states that the forgetful functor T-rcProm -> K lifts all weighted colimits whenever K is closed, under some mild conditions on T.

研究の動機と目的

• 2カテゴリにおける重み付き余極限の概念を、カーン拡張や豊かさ付き余極限のような構造を含むように一般化すること。
• 閉設備における点付き重み付き余極限（グランドィス・パレによる）と代数的に定義された余極限を統合すること。
• ゲッツラーの対称モノイド的左カーン拡張に関する結果を、設備上のモノイドへと拡張すること。
• 設備上のモノイド代数の代数的および余代数的プロモーチズム（laxおよびcolax）を定義し、右colaxプロモーチズムの二重圏を構成すること。
• 設備が閉であり、モノイドが弱い条件下を満たすとき、T-代数から基本設備Kへの忘却関手に沿って重み付き余極限が持ち上がることを証明すること。

提案手法

• 双対2カテゴリと設備を用いて、2カテゴリ内の双モジュールと射をモデル化する。
• 2種類の重み付き余極限の定義を定義する：1つは閉構造による（ウッド）、もう1つは点付きによる（グランドィス・パレ）であり、閉設備においてそれらが同値であることを証明する。
• 代数的プロモーチズム（設備上のモノイド代数のlaxおよびcolax射）を導入し、余極限構成に焦点を当てた右colaxプロモーチズムを扱う。
• T-代数、colax T-射、右colax T-プロモーチズムの二重圏 T-Promrc を構成する。
• 二重圏の理論を用いて重み付き余極限を定義し、Kが閉であり、Tが弱い条件下を満たすとき、忘却関手 T-Promrc → K がすべての重み付き余極限をもち上げることを証明する。
• 結合性と単位公理を満たすlax構造セルを保証するため、整合性同型と随伴関手を用いて、テンソル積 J ⊳ K の構成における関係を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 閉設備において、点付き重み付き余極限と代数的に定義された重み付き余極限が一致する条件は何か？
• RQ2 Kが閉であり、TがK上のモノイドであるとき、T-代数から基本設備Kへの忘却関手に沿って重み付き余極限が持ち上がるのはどのような場合か？
• RQ3 設備上のモノイド代数のlaxおよびcolaxプロモーチズムは、どのように定義すれば余極限構成を支援できるか？
• RQ4 右colaxプロモーチズムは、モノイド代数における重み付き余極限の構成において果たす役割は何か？
• RQ5 T-Promrcにおける二重圏の理論は、KからT-代数へ重み付き余極限をどのように持ち上げるか？

主な発見

• 閉設備において、ウッドの定義とグランドィス・パレの点付き定義という2つの重み付き余極限の概念が、設備に弱い条件を課した場合に一致する。
• Kが閉であり、Tが弱い条件下を満たすとき、T-代数と右colaxプロモーチズムの二重圏 T-Promrc から基本設備Kへの忘却関手は、すべての重み付き余極限をもち上げる。
• T-Promrcにおけるテンソル積 J ⊳ K の構成には、結合性と単位公理を満たすlax構造セルが備わっており、整合性が保証される。
• 整合性の証明は、一連の同型とρおよびλ写像のファンクター性に依存し、特にµεおよびev写像を含む重要な等式が関与する。
• lax構造の単位および結合公理は、随伴合成の比較とモノイド構造からの整合性同型を用いて検証される。
• 持ち上げ結果は、ゲッツラーの対称モノイド的左カーン拡張に関する定理をモノイド上の設備へ一般化し、類似の保存結果を記述する圏論的枠組みを提供する。