[論文レビュー] Algebraicity of some Hilbert-Kunz multiplicities (modulo a conjecture)

Paul Monsky|ArXiv.org|Jul 15, 2009

Coding theory and cryptography参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

特徴的2の下でイデアルの余長さに関する正確な予想を仮定すると、この論文は無限行列理論とグロテンディーク群の技法を用いて、$ H = uv + h $ および $ H = g(u,v) + h $ といった特定の形式のべき級数について、ヒルベルト＝クンツ乗法と級数の代数的性質を確立する。主な結果として、$ h = x^3 + y^3 + xyz $ のヒルベルト＝クンツ乗法が代数的であり、$ \frac{4}{3} + \frac{5}{14\sqrt{7}} $ に等しいことが示され、ヒルベルト＝クンツ級数は $ \mathbb{Q}(w) $ 上の2次代数拡大に属する。

ABSTRACT

Let F be a finite field of characteristic 2 and h be the element x^3+y^3+xyz of F[[x,y,z]]. In an earlier paper we made a precise conjecture as to the values of the colengths of the ideals (x^q,y^q,z^q,h^j) for q a power of 2. We also showed that if the conjecture holds then the Hilbert-Kunz series of H=uv+h is algebraic (of degree 2) over Q(w), and that mu(h) is algebraic (explicitly, (4/3)+(5/14)sqrt(7)). In this note, assuming the same conjecture, we use a theory of infinite matrices to rederive this result, and we extend it to a wider class of H; for example H=g(u,v)+h. In a follow-up paper, under the same hypothesis, we will show that transcendental Hilbert-Kunz multiplicities exist.

研究の動機と目的

• 特徴的2における特定のべき級数について、イデアルの余長さに関する予想を仮定して、ヒルベルト＝クンツ乗法と級数の代数的性質を確立すること。
• $ H = uv + h $ における代数的性質の結果を、$ g $ が同次多項式であるような $ H = g(u,v) + h $ のより広いクラスに拡張すること。
• ヒルベルト＝クンツ級数と乗法の解析に、無限行列理論とグロテンディーク群構造を用いること。
• $ h = x^3 + y^3 + xyz $ のヒルベルト＝クンツ乗法が代数的であることを示し、具体的には $ \frac{4}{3} + \frac{5}{14\sqrt{7}} $ に等しいことを示すこと。
• ヒルベルト＝クンツ級数が特定の多項式の分解体に属することを示し、これにより $ \mathbb{Q}(w) $ 上の代数的性質が導かれる。

提案手法

• 区間 $[0,1] \cap \mathbb{Z}[1/2]$ から $ \mathbb{Q} $ への関数の空間 $ X $ に、2進スケーリングを用いた再帰的定義による双線形積 $ \# $ を導入する。
• べき級数 $ f $ のヒルベルト＝クンツ関数 $ \phi_f \in X $ を定義し、イデアル $ (u^q, \dots, f^i) $ の余長さを符号化する。
• $ \alpha \in X $ に対して、 $ \mu(\alpha) = \lim_{n \to \infty} \alpha(2^{-n}) \cdot 2^n $ としてヒルベルト＝クンツ乗法を定義する。
• $ \alpha \in X $ からグロテンディーク群 $ \Gamma_{\mathbb{Q}} $ への写像 $ \mathcal{L}_n(\alpha) $ を、各次数成分の次元の交代和を用いて構成する。
• 無限行列理論と $ T_0, T_1 $ のモジュールへの作用を応用し、ヒルベルト＝クンツ級数の再帰的関係を導出する。
• 行列式 $ \Psi_{T_0,T_1}(x,w) $ の分解体に依存することで、ヒルベルト＝クンツ級数が $ \mathbb{Q}(w) $ の有限次拡大に属することを示し、これにより代数的性質が導かれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 イデアル $ (x^q, y^q, z^q, h^j) $ の余長さに関する予想を仮定すると、$ H = uv + h $ のヒルベルト＝クンツ級数は $ \mathbb{Q}(w) $ 上で代数的か？
• RQ2 $ g $ が同次多項式である場合に、$ H = g(u,v) + h $ におけるヒルベルト＝クンツ級数の代数的性質を拡張できるか？
• RQ3 $ h = x^3 + y^3 + xyz $ のヒルベルト＝クンツ乗法は代数的か？ もしそうなら、その明示的な値は何か？
• RQ4 $ H = u^6 + u^3v^3 + v^6 + h $ のヒルベルト＝クンツ級数を含む分解体のガロア理論的構造は何か？
• RQ5 $ (1 - 16w) $ における剰余類体で、ヒルベルト＝クンツ乗法は $ \mathbb{Q} $ の8次拡大を生成するか、それとも真の部分体か？

主な発見

• 予想を仮定すると、$ h = x^3 + y^3 + xyz $ のヒルベルト＝クンツ乗法は代数的であり、明示的には $ \frac{4}{3} + \frac{5}{14\sqrt{7}} $ に等しい。
• 無限行列法により、$ H = uv + h $ のヒルベルト＝クンツ級数は $ \mathbb{Q}(w) $ 上で2次代数的であることが示された。
• $ H = u^6 + u^3v^3 + v^6 + h $ に対して、ヒルベルト＝クンツ級数は $ \mathbb{Q}(w, u_1, u_2) $ に属し、ここで $ u_1^2 \in \mathbb{Q}(w) $ かつ $ u_2 $ は $ \mathbb{Q}(w) $ 上で4次である。これは $ \mathbb{Q}(w) $ 上の8次拡大である。
• $ \mathbb{Q}[w] $ の整閉包における素イデアル $ (1 - 16w) $ における剰余類体は $ \mathbb{Q} $ 上8次拡大であり、ヒルベルト＝クンツ乗法はこの体に属する。
• 関連する多項式 $ \Psi^* $ の分解体のガロア群の位数は48であり、集合 $ \{\rho, \rho^{-1}\}, \{\sigma, \sigma^{-1}\}, \{\tau, \tau^{-1}\} $ を安定化する。
• ヒルベルト＝クンツ乗法が $ \mathbb{Q} $ の8次拡大を生成すると考えられるが、これを確認するには計算が極めて高コストな作業を要する。