[論文レビュー] Algebras and Hopf Algebras in Braided Categories

Shahn Majid|ArXiv.org|Sep 22, 1995

Advanced Algebra and Logic被引用数 70

ひとこと要約

本稿は、対称的テンソル構造の代わりにバインド付きテンソル構造を用いることで、超代数や量子群を一般化する、バインド付きカテゴリにおける代数およびホップ代数の導入を行う。バインド付き群の図式的再構成定理を確立し、非退化スクライニン代数や量子平面といった重要な対象が自然にバインド付きホップ代数として現れることを示し、多様な量子的および非可換幾何的構成を一つの枠組みで統一する。

ABSTRACT

This is an introduction for algebraists to the theory of algebras and Hopf algebras in braided categories. Such objects generalise super-algebras and super-Hopf algebras, aswell as colour-Lie algebras. Basic facts about braided categories C are recalled, the modules and comodules of Hopf algebras in such categories are studied,the notion of `braided -commutative' or `braided-cocommutative' Hopf algebras (braided groups) is reviewed and a fully diagrammatic proof of the reconstruction theorem for a braided group aut(C) is given. The theory has important implications for the theory of quasitriangular Hopf algebras (quantum groups). It also includes important examples such as the degenerate Sklyanin algebra and the quantum plane.

研究の動機と目的

• バインド付きカテゴリにおける代数およびホップ代数の体系的理論を構築し、超代数および準三角ホップ代数の一般化を行う。
• 群的およびリー的構造の概念をバインド付き設定に拡張し、バインド付きリー代数およびその包絡bialgebraを導入する。
• バインド付き群の自己同型の再構成定理を証明し、非ココミュタティブ構造を扱うためのバインド付き群作用を伴う図式的枠組みを提供する。
• 非対称テンソルカテゴリにおける物理的および代数的例（非退化スクライニン代数や量子平面など）を、バインド付きホップ代数形式で統一する。
• 非対称テンソルカテゴリにおけるバインド付き微分積分法、二項定理、指数写像の基礎を築く。

提案手法

• バインド付きテンソル構造を備えたカテゴリを用い、ヤン＝バクスター方程式を満たすバインド $ au$ を用いて、対称的置換の代わりに非自己逆のバインドを導入する。
• バインド付きテンソル積および随伴作用を用いて、バインド付き可換およびバインド付きココメルタティブなホップ代数（バインド付き群）を定義する。
• 有向トゥーリングおよびバインド付き交差を用いた図式的推論により、自己同型バインド付き群 ${\rm Aut}(\text{C})$ の再構成定理を証明する。
• 逆バインド $ au^{-1}$ を含むバインド付きリーマン則を満たす演算子 $ abla^i$ を用いて、バインド付き微分積分法を構成する。
• バインド付き整数 $[m; R]$ およびバインド付き二項定理を導入し、バインド付き設定における組合せ論の一般化を図る。
• R行列を用いて、バイアルゲブラおよびホップ代数への構成を拡張し、$B(R)$ および $V(R')$ がバインド付きホップ代数として実現されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホップ代数の理論は、対称的および超対称的ケースを超えて、バインド付きテンソルカテゴリにどのように一般化できるか。
• RQ2 バインド付き構造が、量子群のような非ココメルタティブだが制御された非可換構造を定義する上で果たす役割は何か。
• RQ3 微分積分法、二項定理、指数写像は、バインド付き設定に一貫して一般化可能か。
• RQ4 標準的な量子代数（量子平面や非退化スクライニン代数など）は、バインド付きホップ代数の枠組みにどのように適合するか。
• RQ5 モジュールカテゴリからバインド付き群を再構成する背後にあるカテゴリカルおよび図式的構造は何か。

主な発見

• 本稿は、バインド付き群 ${\rm Aut}(\text{C})$ の再構成定理を完全に図式的証明により確立し、バインド付き設定におけるカテゴリカル双対性を確立する。
• $V(R')$ のバインド付き余ベクトル代数は、バインドを反転させたカテゴリにおける左モジュール代数であることが示され、微分演算子はバインド付きリーマン則を満たす。
• 量子平面に対しては、バインド付き微分積分法が、$R$ が標準的であるとき、$q$-微分作用素を介してよく知られた二次元微分積分法を再現する。
• バインド付き二項定理は、バインド付き整数 $[m; R] = 1 + (PR)_{12} + \text{...} + (PR)_{12}\text{...}(PR)_{m-1,m}$ を用いて確立され、古典的組合せ論が一般化される。
• バインド付きリー代数はバインド付きココメルタティブ条件を用いて定義され、その包絡bialgebraは $B(R)$、すなわちバインド付き行列と同型であることが示される。
• 極限 $q \to 1$ において、$B(R)$ のスケーリングされた生成子 $\bar{\chi} = \epsilon^{-1}\chi$ は、古典的リー代数に収束し、標準リー理論との整合性が確認される。