[論文レビュー] Algebras of conjugacy classes in symmetric groups

Yury A. Neretin|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2016

Finite Group Theory Research参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、IvanovおよびKerovによる対称群の共轭類代数における構造定数の安定化現象を、$G \supset K$ のより広い群の組に拡張する。特に $G = S_n \times S_n$ および $K = S_n$ の対角埋め込みを対象とする。無限次元の共轭類代数 $G_\infty // K_\infty$ を構成し、フィルトレーションを導入。その関連する次数代数が自然な積に関して可換な半群代数をなしており、交換子から生じる自然なパンソン構造を持つことを示した。

ABSTRACT

In 1999 V. Ivanov and S. Kerov observed that structure constants of algebras of conjugacy classes of symmetric groups $S_n$ admit a stabilization (in a non-obvious sense) as $n o \infty$. We extend their construction to a class of pairs of groups $G\supset K$ and algebras of conjugacy classes of $G$ with respect to $K$. In our basic example $G$ is a product of symmetric groups, $G=S_n imes S_n$, $K$ is the diagonal subgroup $S_n$.

研究の動機と目的

• IvanovおよびKerovの対称群共轭類代数における構造定数の安定化を、より広い群の組 $G \supset K$ に一般化すること。
• $G_n = S_n \times S_n$ および $K_n = S_n$ の対角埋め込みに対して、共轭類代数 $G_n // K_n$ の無限次元極限を研究すること。
• 無限積群 $G_\infty = S_\infty \times S_\infty$ の共轭類代数に対して、対角部分群 $K_\infty = S_\infty$ に関するフィルトレーションを構成し、その関連する次数代数を分析すること。
• $\coprod_{j=0}^\infty G_j // S_j$ 上の自然な積を用いて、関連する次数代数の構造を半群代数として同定すること。また、この次数代数にパンソン括弧を定義すること。

提案手法

• 共轭類に含まれる部分双対写像のランクに基づいて、代数 $\mathcal{B}[G_\infty // K_\infty]$ にフィルトレーション $\mathcal{B}_k$ を定義する。
• 関連する次数代数 $\mathop{\mathrm{gr}}\nolimits\mathcal{B}[G_\infty // K_\infty] = \bigoplus_{k=0}^\infty \mathcal{B}_k / \mathcal{B}_{k-1}$ を構成し、各成分が $G_k // S_k$ でインデックス付けられた基底要素によって張られることを示す。
• 部分双対写像 $\theta_{n,k}$ を用いて、次数代数上に積 $\diamond$ を定義する。これは $({\,{\overline{\overline{g}}\,}}, {\,{\overline{\overline{h}}\,}}) \mapsto \overline{\overline{\theta_{n,k}(g,V_n)\theta_{n,k}^{-1}(h,V_k)}}}$ と対応し、チェッカーボードで三角形分割された曲面の直和に対応する。
• 交換子 $[V,W] = V*W - W*V$ を用いて、次数代数上にリー括弧を定義し、これにより $\mathop{\mathrm{gr}}\nolimits\mathcal{B}[G_\infty // K_\infty]$ 上にパンソン構造を誘導する。
• $X = \varnothing$ の場合、次数代数は可換であり、パンソン括弧はランク1の部分双対写像 $\lambda$ に関する和で与えられ、各項は $B[\overline{\overline{g \circledast_\lambda h}}] - B[\overline{\overline{h \circledast_{\lambda^{-1}} g}}]$ である。
• $\coprod_{j=0}^\infty G_j // S_j \simeq (G_\infty // K_\infty) \times \mathbb{Z}_+$ という標準的同型を確立し、有限次元と無限次元のレベルを結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称群共轭類代数における構造定数の安定化は、$S_n$ を超えて、他の群の組 $G \supset K$ に一般化可能か？
• RQ2 $G_\infty = S_\infty \times S_\infty$ および $K_\infty = S_\infty$ の場合、無限次元極限代数 $\mathcal{B}[G_\infty // K_\infty]$ の構造は何か？
• RQ3 この極限代数の関連する次数代数は自然な半群構造を備えているか？ もしそうなら、それはどのように実現されるか？
• RQ4 関連する次数代数にパンソン括弧を定義可能か？ また、元の代数における交換子とどのように関係するか？
• RQ5 得られた代数的構造（半群、パンソン代数）は、特に組合せ的対象の同型に関して、二重コセットに関する先行研究と比較してどう異なるか？

主な発見

• 関連する次数代数 $\mathop{\mathrm{gr}}\nolimits\mathcal{B}[G_\infty // K_\infty]$ は、部分双対写像 $\theta_{n,k}$ を用いて定義される積 $\bullet$ に関して、半群 $\coprod_{j=0}^\infty G_j // S_j$ の半群代数に同型である。
• 次数代数における積は明示的に $B[\overline{\overline{g}}]\diamond B[\overline{\overline{h}}] = B[\overline{\overline{\theta_{n,k}(g,V_n)\theta_{n,k}^{-1}(h,V_k)}}]$ で与えられ、$G_\infty = S_\infty \times S_\infty$ の場合、これはチェッカーボードで三角形分割された曲面の直和に対応する。
• $X = \varnothing$ の場合、次数代数は可換であり、パンソン括弧は $[B[\overline{\overline{g}}], B[\overline{\overline{h}}]]_{\mathrm{gr}} = \sum_{\lambda \in \mathrm{PB}(J_k, J_n), \mathop{\mathrm{rk}}\nolimits\lambda=1} \left( B[\overline{\overline{g \circledast_\lambda h}}] - B[\overline{\overline{h \circledast_{\lambda^{-1}} g}}] \right)$ で与えられる。
• 半群 $\coprod_{j=0}^\infty G_j // S_j$ の構造は、$(G_\infty // K_\infty) \times \mathbb{Z}_+$ への標準的同型により $G_\infty // K_\infty$ と同型である。これにより、有限次元と無限次元のレベルが結びつけられる。
• この構成は、既知の対称群代数における構造定数の安定化を、より広い群の組に一般化したものであり、自然なフィルトレーションと次数構造を通じて、組合せ的データを捉えた無限次元極限代数を記述する。
• 次数代数上のパンソン括弧は、元の代数における交換子から自然に生じる。その明示的公式はランク1の部分双対写像のみを含み、深い組合せ的構造を強調している。