[論文レビュー] Algebras of differential operators on Lie groups and spectral multipliers

Alessio Martini|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2010

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 81被引用数 28

ひとこと要約

本稿は、多項式的体積成長を示す連結リー群、特に斉次リー群上で、可換な左不変微分作用素系に対する連合スペクトル乗数定理を確立する。Mihlin-Hörmander型およびMarcinkiewicz型乗数定理を、連合スペクトル分解、表現論、および転送技法を活用して証明し、古典的結果を複数の作用素および滑らかさ条件が群の成長に依存する非ネルピッシャン群へと拡張する。

ABSTRACT

This thesis is devoted to the study of joint spectral multipliers for a system of pairwise commuting, self-adjoint left-invariant differential operators L_1,...,L_n on a connected Lie group G. Under the assumption that the algebra generated by L_1,...,L_n contains a weighted subcoercive operator - a notion due to ter Elst and Robinson (J. Funct. Anal., 157(1):88--163, 1998), including positive elliptic operators, sublaplacians and Rockland operators - we prove that L_1,...,L_n are (essentially) self-adjoint and strongly commuting on L^2(G). Moreover, we perform an abstract study of such a system of operators, in connection with the algebraic structure and the representation theory of G, similarly as what is done in the literature for the algebras of differential operators associated with Gelfand pairs. When G has polynomial volume growth, weighted L^1 estimates are obtained for the convolution kernel of the operator m(L_1,...,L_n) corresponding to a compactly supported multiplier m satisfying some smoothness condition. The order of smoothness which we require on m is related to the degree of polynomial growth of G. In the case G is a homogeneous Lie group and L_1,...,L_n are homogeneous operators, an L^p multiplier theorem of Mihlin-Hörmander type is proved, extending known results for a single Rockland operator. Further, a product theory is developed, by considering several homogeneous groups G_j, each of which with its own system of operators, and a multiplier theorem of Marcinkiewicz type is proved, not only on the direct product of the G_j, but also on other (possibly non-homogeneous) groups, containing homomorphic images of the G_j. Consequently, for certain non-nilpotent groups of polynomial growth and for some distinguished sublaplacians, we are able to improve the general result of Alexopoulos (Proc. Amer. Math. Soc., 120(3):973-979, 1994).

研究の動機と目的

• p ≠ 2 の L^p 空間における連合スペクトル乗数の有界性を扱い、古典的フーリエ乗数理論をリー群上での可換微分作用素系へと拡張する。
• 群が多項式的体積成長を示し、作用素が左不変かつ形式的自己随伴である場合に、L^p 有界性を保証する乗数の条件を確立する。
• Mihlin-Hörmander などの単一作用素乗数定理を、スペクトル理論および斉次リー群上の調和解析を用いて、複数の可換作用素へと一般化する。
• 転送技法を用いた積構造理論を構築し、同型写像による斉次群の像を含む非斉次群に対しても乗数結果を拡張可能にする。
• 群および作用素の代数的・表現論的構造を活用することで、乗数に必要な滑らかさを低減する。

提案手法

• L^2(G) 上の強可換自己随伴作用素 L_1, ..., L_n に対する連合スペクトル分解を用い、スペクトル積分により定義：m(L) = ∫_{ℝ^n} m(λ) dE(λ)。
• 重み付き部分 coercive 作用素の理論を適用し、L^2(G) 上での本質的自己随伴性および強い可換性を保証する。
• m がコンパクト台を持ち、群の多項式的成長度に依存する滑らかさ条件を満たす場合、m(L) の畳み込み核に対する重み付き L^1 評価を導出する。
• 斉次リー群上の非等方的拡大に適合した Mihlin-Hörmander 条件を導入し、1 < p < ∞ に対して L^p 有界性を保証する。
• 斉次群の直積上で非標準的な転送法を用い、同型写像による像を含む他の群へ乗数定理を拡張する。
• 表現論およびプランシュレ測度を用いて、連合関数計算の核変換およびスペクトル構造を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 G が多項式的体積成長を示す連結リー群であるとき、p ≠ 2 に対して連合スペクトル乗数 m(L_1, ..., L_n) が L^p(G) 上で有界であるための条件は何か？
• RQ2 リー群 G の多項式的成長度に応じて、乗数 m に必要な滑らかさの程度はどのように依存するか？
• RQ3 単一のサブラプラシアンに対する Mihlin-Hörmander 乗数定理を、斉次リー群上での可換な左不変微分作用素系へと拡張可能か？
• RQ4 転送技法を用いて、同型写像による像を含む非斉次群へ乗数定理をどの程度まで拡張可能か？
• RQ5 Gelfand 対および表現論の文脈において、作用素が生成する代数の役割は、強可換性およびスペクトル分解を保証するために果たすか？

主な発見

• 連結リー群 G 上の形式的自己随伴かつ互いに可換な左不変微分作用素系は、その生成する代数に重み付き部分 coercive 作用素を含む限り、L^2(G) 上で本質的自己随伴かつ強く可換である。
• 多項式的体積成長を示す斉次リー群では、Mihlin-Hörmander 型乗数定理が成立する：群の拡大に適合した滑らかさ条件（順序 s > n/2）を満たす乗数 m に対して、m(L) は 1 < p < ∞ に対して L^p で有界である。
• 乗数に必要な滑らかさの順序は、群の多項式的成長度に直接関係しており、この条件は、滑らかさが低くなると有界性が保証されないという意味で鋭い。
• 斉次群の積上で転送技法を用いることで、乗数定理が因子群の同型像を含む他の群に対しても、積群およびその他の群にまで拡張可能である。
• 特定の非ネルピッシャン群（多項式的成長）および特定のサブラプラシアンに対して、本稿の結果はアレクサポウロス（1994）が示した一般の L^p 乗数有界性を改善する。
• m がコンパクト台を持ち滑らかさ条件を満たす場合、m(L) の畳み込み核に対する重み付き L^1 評価が得られ、重みは群の成長および作用素系に依存する。