[論文レビュー] Algebras of higher operads as enriched categories II

Michael Batanin, Denis-Charles Cisinski+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 20被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、グローブラルオペラッドとマルチテンソルを用いた圏論的枠組みを構築し、高次元のグレイテンソル積の類似物を体系的に構成する。これにより、グレイとクランズのテンソル積といった既知の構成が統一される。マルチテンソルとモノイドの間の2-ファンクター的対応を確立することで、トリムプレーの弱 $n$-圏の定義をスムーズに導出でき、またブラケットモノイド的2圏に対するアイレンバーグ＝マクレーン型の結果や、$A$-infinity代数のためのテンソル積といった新しい結果が得られる。

ABSTRACT

One of the open problems in higher category theory is the systematic construction of the higher dimensional analogues of the Gray tensor product. In this paper we continue the work of [7] to adapt the machinery of globular operads [4] to this task. The resulting theory includes the Gray tensor product of 2-categories and the Crans tensor product [12] of Gray categories. Moreover much of the previous work on the globular approach to higher category theory is simplified by our new foundations, and we illustrate this by giving an expedited account of many aspects of Cheng's analysis [11] of Trimble's definition of weak n-category. By way of application we obtain an "Ekmann-Hilton" result for braided monoidal 2-categories, and give the construction of a tensor product of A-infinity algebras.

研究の動機と目的

• 弱 $n$-圏におけるグレイテンソル積の高次元版を体系的かつ概念的に構成するための枠組みを構築すること。
• グローブラルオペラッドのアプローチを一般化し、グレイとクランズの積といった既知のテンソル積を一貫した代数的設定で統一すること。
• チェンのトリムプレーの弱 $n$-圏に関する分析から得られる主要な結果を、新しい基礎に基づいて簡略化し再導出すること。
• $A$-infinity代数のためのテンソル積を構成し、ブラケットモノイド的2圏に対するアイレンバーグ＝マクレーン型の結果を証明すること。
• マルチテンソルとモノイドの間の2-ファンクター的対応を確立し、厳密および弱 $n$-圏モノイドの概念的再構成を可能にすること。

提案手法

• 高次元の圏的構造をモデル化するために、グローブラルオペラッドとマルチテンソルの道具立てを活用する。
• マルチテンソルからモノイドへの2-ファンクター $\Gamma$ を導入し、マルチテンソルの圏とモノイドの圏の間の2-ファンクター的対応を確立する。
• 分配法則と経路に似たモノイドを用いてマルチテンソルを構築・持ち上げ、高次構造の帰納的構成を可能にする。
• マルチテンソル持ち上げ定理を適用し、特に $A$-infinity代数に対して新しいテンソル積や豊かさを導出する。
• トポロジカルな可縮性を示すために、$\textnormal{Top}_\bullet$ および $\mathcal{G}^n\textnormal{Set}$ における自明なファイブレーションを用いた可縮性の議論を行う。これにより、トリムプレー $n$-圏を定義する $n$-オペラッドの可縮性が証明される。
• 忘却函手 $U_n: \textnormal{Trm}_n \to \mathcal{G}^n\textnormal{Set}$ とその経路空間との相互作用を用いて、トポロジカルな可縮性とグローブラルセット構造との関係を関係づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱 $n$-圏に対して、グレイテンソル積の高次元版を体系的に構成する方法は何か？
• RQ2 グローブラルオペラッドの文脈において、マルチテンソルとモノイドの間の概念的関係は何か？
• RQ3 グローブラルオペラッドの理論を用いて、チェンのトリムプレーの弱 $n$-圏に関する分析から得られる主要な結果を簡略化し再導出できるか？
• RQ4 マルチテンソルまたはオペラッドが可縮であるための条件は何か？ そしてそれは弱 $n$-圏の構成とどのように関係するか？
• RQ5 この枠組みを用いて、$A$-infinity代数やブラケットモノイド的2圏のための新しいテンソル積を構成するにはどうすればよいか？

主な発見

• 本論文は、マルチテンソルとモノイドの間の2-ファンクター的対応 $\Gamma$ を確立し、高次元の圏的構造の概念的基盤を提供する。
• マルチテンソル持ち上げ定理により、$A$-infinity代数のためのテンソル積を含む新しいテンソル積の構成が可能になる。
• ブラケットモノイド的2圏に対するアイレンバーグ＝マクレーン型の結果が、この枠組みの帰結として導出される。
• $n$-オペラッドがトリムプレー $n$-圏を定義するものとして、$\textnormal{Top}_\bullet$ および $\mathcal{G}^n\textnormal{Set}$ における自明なファイブレーションを用いた帰納的証明により可縮性が示される。
• 理論により、チェンのトリムプレーの定義に関する分析から得られる主要な結果が簡略化され再導出され、特に厳密 $n$-圏モノイドの構成が含まれる。
• この枠組みは、グレイテンソル積とクランズのテンソル積を、単一のマルチテンソル構成の特別な場合として一般化する。