[論文レビュー] Algebras of unbounded operators over the ring of measurable functions and their derivations and automorphisms

Sergio Albeverio, A. Ayupov+2 more|ArXiv.org|Oct 31, 2007

Advanced Topics in Algebra参考文献 17被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、可測関数の環上の有界でない $ L^0 $-線形作用素の代数における微分と $ * $-自己同型の性質を調査し、$ \mathcal{L}^+(\mathcal{D}) $ のすべての $ L^0 $-線形微分と $ L^0 $-線形 $ * $-自己同型が内因的であることを確立している。また、$ bo $-稠密部分加群上の $ \mathcal{L}(\mathcal{D}) $ のすべての $ L^0 $-線形自己同型が空間的であることも示している。これらの結果は、カプランスキー＝ヒルベルト空間を用いて、古典的な内自己同型定理を有界でない、$ L^0 $-値の設定に拡張するものである。

ABSTRACT

In the present paper derivations and *-automorphisms of algebras of unbounded operators over the ring of measurable functions are investigated and it is shown that all L^0-linear derivations and L^{0}-linear *-automorphisms are inner. Moreover, it is proved that each L^0-linear automorphism of the algebra of all linear operators on a bo-dense submodule of a Kaplansky-Hilbert module over the ring of measurable functions is spatial.

研究の動機と目的

• 可測関数の環上の有界でない作用素代数への微分と自己同型の理論を有界から無限大に拡張すること。
• 無限大作用素の文脈において、古典的な内微分と空間的自己同型に関する結果の $ L^0 $-値版を確立すること。
• カプランスキー＝ヒルベルト空間上の無限大 $ L^0 $-線形作用素の $ O^* $-代数と $ O $-代数の構造を調査すること。
• $ \mathcal{L}^+(\mathcal{D}) $ のすべての $ L^0 $-線形 $ * $-自己同型が内因的であり、$ bo $-稠密部分加群上の $ \mathcal{L}(\mathcal{D}) $ のすべての $ L^0 $-線形自己同型が空間的であることを証明すること。

提案手法

• $ L^0 $ 上のカプランスキー＝ヒルベルト空間における無限大 $ L^0 $-線形作用素の理論を構築し、$ L^0 $-値設定における $ O $-加群、$ O^* $-加群、$ O $-代数、$ O^* $-代数を導入する。
• $ bo $-位相と $ L^0 $ における $ o $-収束を用いて、$ L^0 $-ノルム空間における収束と完備性を定義する。
• $ \sigma $-有限生成加群と $ d $-分解可能（カンタロヴィッチ）ノルムの構造を用いて、$ L^0 $ 上の作用素代数を分析する。
• スペクトル分解とイデムポテンの分割 $ \{\pi_\alpha\} $ を用いて、グローバルな問題を $ L^0 $-成分上の局所的問題に還元する。
• 局所化された部分加群 $ \pi_\alpha \mathcal{D}_i $ 上での $ L^0 $-線形等長写像 $ U_\alpha $ を用いて、空間的実装作用素 $ U $ を構成する。
• $ U $ による $ \pi $ の実装を用いて、$ \pi(a) = UaU^{-1} $ を示し、空間的および内因的自己同型を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ \mathcal{L}^+(\mathcal{D}) $ のすべての $ L^0 $-線形微分が内因的であるか。
• RQ2 $ \mathcal{L}^+(\mathcal{D}) $ のすべての $ L^0 $-線形 $ * $-自己同型が内因的であるか。
• RQ3 $ bo $-稠密部分加群上の $ \mathcal{L}(\mathcal{D}) $ のすべての $ L^0 $-線形自己同型が空間的であるか。
• RQ4 $ O^* $-代数間の $ L^0 $-線形 $ * $-同型は空間的写像として実現可能か。
• RQ5 $ L^0 $-線形自己同型が空間的または内因的であるための条件は何か。

主な発見

• $ \mathcal{L}^+(\mathcal{D}) $ のすべての $ L^0 $-線形微分が内因的である。
• $ \mathcal{L}^+(\mathcal{D}) $ のすべての $ L^0 $-線形 $ * $-自己同型が内因的である。
• カプランスキー＝ヒルベルト空間上の $ L^0 $-値加群の $ bo $-稠密部分加群上の $ \mathcal{L}(\mathcal{D}) $ のすべての $ L^0 $-線形自己同型が空間的である。
• 任意の $ O^* $-代数間の $ L^0 $-線形 $ * $-同型は空間的である。
• $ \mathcal{L}^+(\mathcal{D}) $ の各 $ L^0 $-線形 $ * $-自己同型は、$ \pi(a) = UaU^{-1} $ を満たすユニタリ作用素 $ U $ によって実装される。
• 空間的自己同型性は、$ \|e\| = \mathbf{1} $ を満たすベクトル $ e \in \mathcal{D} $ が存在するという条件下で成り立つ。