[論文レビュー] Algebras without Involution and Quantum Field Theories

G.E. Johnson|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2012

Quantum Information and Cryptography参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、自己随伴性を要請しない量子場理論（QFT）の再定式化を提案し、非自明な4点関数真空期待値（VEVs）を持つ相互作用的QFTの明示的構成を可能にする。テスト関数を正エネルギーのフーリエスペクトルに制限することで、ポアンカレ共変性、微小局所性、正エネルギーを保ちつつ、ヒルベルト空間上の自己随伴演算子でない場の演算子を許容する。

ABSTRACT

Explicit realizations of quantum field theory (QFT) are admitted by a revision to the Wightman axioms for the vacuum expectation values (VEV) of fields. The technical development of QFT is expanded beyond positive functionals on *-algebras while the physically motivated properties: Poincare covariance; positive energy; microcausality; and a Hilbert space realization of states, are preserved.

研究の動機と目的

• 4次元以上の次元で、非自明な4点関数真空期待値（VEVs）を持つ明示的で相互作用的な量子場理論を構成するという長年の問題を解決すること。
• 標準的なWightman公理が、自己随伴性を要請する$*$-代数の要請によってあまりに制限的であることを示し、相互作用的QFTの明示的実現がそれらの要請に起因することを示すこと。
• ヒルベルト空間上の状態、ポアンカレ共変性、正エネルギー、微小局所性といった核となる物理的原理を保ちつつ、代数的構造を緩め、非自己随伴場演算子を許容すること。
• 改訂されたテスト関数制約の下で局所性およびスペクトル支持条件を満たす4点関数VEVの一般化関数の構成。
• 粒子の生成・消失を含む相互作用的ダイナミクスが、状態空間上のヒルベルト空間における場が自己随伴演算子でなくても実現可能であることを示すこと。

提案手法

• 関数列の$*$-代数の部分代数を構成し、関数のフーリエ変換が正エネルギーにのみ支持を持つように制限することで、対合性（involution）性質を破る。
• 4点関数VEVを一般化関数として定義：$^{C}\tilde{W}_{4}((p)_{4}) = (2\binom{d}{}c_{4} \delta(p_{1}+p_{2}+p_{3}+p_{4})) \delta(p_{1}^{2}-m^{2})\cdots\delta(p_{4}^{2}-m^{2})$。これはポアンカレ不変かつ局所的である。
• テスト関数に、負エネルギー殻に支持を持たないよう制約を課し、前方光円錐の閉包によりスペクトル条件を満たすようにする。
• Wightman半ノルムを$^{T}W_{4}(f_{2}^{*}f_{2}) = c_{4} \int du \left| \int d\sigma_{m}(p_{1})d\sigma_{m}(p_{2}) e^{iu(p_{1}+p_{2})} \tilde{f}_{2}(p_{1},p_{2}) \right|^{2} \geq 0$により定義し、制限された状態空間において正定値性を保証する。
• スカラー場、スピン1場、スピン1/2場に対して、行列$M(p)$、表現行列$S(A)$、計量$D$を用いて明示的な場の実現を構成し、共変性および実数性条件を満たす。
• 直交変換およびクロネッカー積を適用して、元の構成の構造と対称性を保った新しいモデルを生成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルベルト空間上での自己随伴演算子でない場の演算子を要請しないで、相互作用的量子場理論を明示的に実現できるか？
• RQ2 Wightman公理における対合性の要請を緩和することで、4次元以上で非自明な4点関数真空期待値を構成可能か？
• RQ3 自己随伴性を要請しないQFT枠組みにおいても、ポアンカレ共変性、微小局所性、正エネルギーを保てるか？
• RQ4 制限されたテスト関数空間の下で、局所性およびスペクトル支持条件を満たす4点関数VEVの一般化関数を定義可能か？
• RQ5 ヒルベルト空間上での自己随伴構造を必要としないように、場演算子をどのように構成すれば、相互作用的ダイナミクスを実現できるか？

主な発見

• 本稿は、ポアンカレ不変性、局所性、微小局所性を満たす非自明な4点関数真空期待値$^{C}\tilde{W}_{4}((p)_{4})$を構成し、明示的QFT構成における長年の空白を解消した。
• 4点関数VEVは、$\Phi^4$相互作用に対するフェ Feynman ルールの弱い結合定数近似と一致する散乱断面積を生成し、物理的妥当性を確認した。
• テスト関数を正エネルギーのフーリエスペクトルに制限することで、スペクトル支持条件が満たされるが、完全なVEV汎関数は対合性を欠く。
• 制限されたテスト関数空間において、4点関数のWightman半ノルムは非負であり、状態のヒルベルト空間における内積構造が正当化される。
• スカラー場、スピン1場、スピン1/2場に対して、行列$M(p)$、$S(A)$、$D$を用いて明示的な場の実現を構成し、$M(p)$は非自己随伴であるが、$M(p) = M(-p)^T$を満たす。
• モデルは$S_{\phi}M(p)S_{\phi}^T = M(p)$を満たすようなグローバルな対称性（電荷保存）を有し、直交変換およびクロネッカー積に関して閉じている。