[論文レビュー] Algebrodynamics in complex space-time and the complex-quaternionic origin of Minkowski geometry

Vladimir V. Kassandrov|ArXiv.org|Feb 22, 2006

Algebraic and Geometric Analysis被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、複素数3次元空間における双Quaternion代数 ℂℍ 内で、ミンコフスキー時空が双線形射影として生じることを提案する。自動同型群 SO(3,ℂ) は、適切なローレンツ群として作用する。主な結果として、ローレンツ変換に対して不変な新しい幾何的位相が出現し、これを場の特異点（二重子）として特定される粒子の量子的性質の根源とみなせる。これにより、複素数的・クaternion的力学を介して、時空と量子的挙動の代数的起源が提示される。

ABSTRACT

We present a scheme of biquaternionic algebrodymamics based on a nonlinear generalization of the Cauchy-Riemann holomorphy conditions considered therein as fundamental field equations. The automorphism group SO(3,C) of the biquaternion algebra acts as a proper Lorentz group on a real space whose coordinates are bilinear in the complex coordinates of biquaternionic vector space. A new invariant of Lorentz transformations then arises - the geometric phase. This invariant can be responsible for the quantum properties of particles associated in this approach with field singularities. Some new notions are introduced, related to ``hidden'' complex dynamics: ``observable'' space-time, the ensemble of identical correlated particles-singularities (``duplicons'') and others.

研究の動機と目的

• クォータニオン代数の自己同型群 SO(3) と特殊相対性理論のローレンツ群との不整合を解消するため、双クォータニオンに拡張すること。
• 複素時空における非線形正則条件を用いて、時空幾何学と物理的場の根本的代数的起源を確立すること。
• ローレンツ変換に対して不変な新しい不変量（幾何的位相）を導入し、粒子的特異点としての量子的挙動を説明可能とする。
• 観測可能なミンコフスキー時空が、双クォータニオンの自己同型に埋め込まれたより深い複素クォータニオン的構造の「影」であることを示すこと。
• 複素固有時間と相関する二重子を介して、複素数的固有時間と幾何的位相を通じて、重ね合わせや不確定性といった量子現象の幾何的基盤を提供すること。

提案手法

• 物理的時空を表す複素座標を用いる、双クォータニオン代数 ℂℍ を基本的な代数的構造として採用する。
• 複素時空における主要な場の方程式として、コーシー＝リーマン条件の非線形一般化を適用する。
• ℂℍ の自己同型群 SO(3,ℂ) を、適切なローレンツ群と同一視し、ローレンツ不変な力学を可能にする。
• 複素座標における双線形形式を用いて、実ミンコフスキー時空を構成し、ℂℍ の6次元実部分空間を4次元ミンコフスキー空間に写像する。
• 複素時空における場の特異点から生じる相関する粒子的特異点「二重子」の概念を導入する。
• 複素固有時間から定義される幾何的位相を定義し、これはローレンツ変換に対して不変であり、量子的挙動を符号化する可能性がある。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ミンコフスキー時空の幾何学は、双クォータニオンのような複素代数的構造の自己同型群から自然に生じるのか？
• RQ2 ローレンツ変換に対して不変な新しい幾何的位相の物理的意味は何か？ そして、それが量子力学とどのように関係するのか？
• RQ3 複素時空における場の特異点は、どのように観測可能な粒子的実体（二重子）と相関する力学を生じるのか？
• RQ4 実ミンコフスキー時空の因果的構造と計量は、複素双クォータニオン座標の双線形不変量から導けるのか？
• RQ5 複素固有時間とその位相は、この代数的枠組みにおいて、量子的不確定性や干渉現象とどのように関係するのか？

主な発見

• 双クォータニオン代数の自己同型群 SO(3,ℂ) は、複素座標における双線形形式を介して、実4次元ミンコフスキー空間上で適切なローレンツ群として自然に作用する。
• ローレンツ変換に対して不変な新しい不変量（幾何的位相）が出現し、これは標準的なミンコフスキー幾何学には存在しないが、量子的挙動の根源となる可能性がある。
• 観測可能なミンコフスキー時空は、複素双クォータニオン空間の6次元実部分空間として示され、| (z̄₁)² + (z̄₂)² + (z̄₃)² | = | z̄₀ |² で定義される、零錐方程式によって特徴づけられる。ここで z̄₀ は複素固有時間である。
• 実ミンコフスキー区間は、複素固有時間の絶対値として特定され、T² − |X|² = | z̄₀ |² と表され、時空幾何学が複素動力学と結びつく。
• 複素固有時間 z̄₀ の位相は、ローレンツ変換に対して保存不変量であるため、量子的位相や干渉の幾何的起源を示唆する。
• 二重子（相関する粒子的特異点）は、複素時空における場の特異点から生じ、主_twistor場を介して動的に関連付けられており、順序のない事象系列を可能にし、進化曲線によって回復可能である。