[論文レビュー] Algorithmic and Complexity Results for Cutting Planes Derived from Maximal Lattice-Free Convex Sets

Amitabh Basu, Robert Hildebrand+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2011

Optimization and Packing Problems参考文献 15被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、最大格子自由凸集合を用いて、混合整数プログラミングにおける最適カット平面を生成する多項式時間アルゴリズムを提供する。2つの整数変数の場合、緩和されたコーナー多面体の面の数が多項式であることを証明し、複雑な還元に頼らずに明示的でテスト可能な条件を用いて、カットの列挙と最適化を効率的に行えることを示す。

ABSTRACT

We study a mixed integer linear program with m integer variables and k non-negative continuous variables in the form of the relaxation of the corner polyhedron that was introduced by Andersen, Louveaux, Weismantel and Wolsey [Inequalities from two rows of a simplex tableau, Proc. IPCO 2007, LNCS, vol. 4513, Springer, pp. 1--15]. We describe the facets of this mixed integer linear program via the extreme points of a well-defined polyhedron. We then utilize this description to give polynomial time algorithms to derive valid inequalities with optimal l_p norm for arbitrary, but fixed m. For the case of m=2, we give a refinement and a new proof of a characterization of the facets by Cornuejols and Margot [On the facets of mixed integer programs with two integer variables and two constraints, Math. Programming 120 (2009), 429--456]. The key point of our approach is that the conditions are much more explicit and can be tested in a more direct manner, removing the need for a reduction algorithm. These results allow us to show that the relaxed corner polyhedron has only polynomially many facets.

研究の動機と目的

• 最大格子自由凸集合から強力なカット平面を生成するためのアルゴリズム的ツールの開発。
• アルゴリズム的還元に頼らずに、明示的でテスト可能な条件による面を定義する不等式の特徴付け。
• m=2の場合に、緩和されたコーナー多面体の面の数が多項式であることを証明すること。
• 固定されたmに対して、l_pノルムが最小となるカットを効率的に見つけるためのアルゴリズムの設計。
• 実用的な整数プログラミングへの応用を念頭に、構造的知見とアルゴリズム的効率を統合すること。

提案手法

• すべての有効な不等式を記述するために、conv(R_f)のブロッキング多面体を用い、多項式時間での計算を可能にする。
• 多項式的個数の面をもつ明確に定義された多面体の極点を用いて、面を定義する不等式を特徴付ける。
• 固定されたmに対して、l_pノルムカットの最適化を多項式的個数の制約をもつ線形計画問題として定式化する。
• m=2の場合、最大格子自由凸集合を5つのタイプに分類し、面に寄与するものは多項式的個数に限られることを示す。
• 反復的還元アルゴリズムを必要としない、新しい直接的特徴付けを提供する。
• 幾何的双対性と格子自由集合のミンコフスキー汎関数を活用し、明示的な不等式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定されたmに対して、緩和されたコーナー多面体の面の数を多項式的に抑えられるか？
• RQ2 面を定義する不等式は、アルゴリズム的還元に頼らずに明示的でテスト可能な条件によって特徴付けられるか？
• RQ3 固定されたmに対して、最適カット平面（最小l_pノルム）を多項式時間で計算できるか？
• RQ4 最大格子自由集合の構造的性質は、conv(R_f)の面構造とどのように関係するか？
• RQ5 カット平面の理論を、理論的厳密性を保ちつつアルゴリズム的に効率化できるか？

主な発見

• m=2の場合、conv(R_f)の面の数は入力サイズに対して多項式的であり、重要な複雑性の問題が解決される。
• 任意の固定されたmに対して、l_pノルムによる最適カットは多項式時間で計算可能である。
• l_1およびl_∞ノルムの場合は、多項式的個数の制約をもつ線形計画問題を解くことにより還元される。
• 面を定義する不等式の新しい直接的特徴付けが提供され、複雑な還元アルゴリズムの必要性がなくなる。
• 証明により、m=2の場合、各タイプの最大格子自由集合のうち、多項式的個数のものしか考慮する必要がないことが示される。
• m=2の場合、洗練された必要条件を用いて、conv(R_f)のすべての面を列挙する多項式時間アルゴリズムが存在する。