[論文レビュー] Algorithmic and hardness results for the hub labeling problem

Haris Angelidakis, Yury Makarychev+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2017

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ひとこと要約

本稿では、ハブラベル化問題に対するΩ(log n)の近似困難性を確立し、既存の近似保証と一致させるとともに、一意な最短経路をもつグラフおよび直径Dに対してO(log D)の近似アルゴリズムを提示する。また、木に対するPTASおよび準多項式時間アルゴリズムを提供し、Pelegの2000年のヒューリスティックの2-近似解析を厳密に行う。

ABSTRACT

There has been significant success in designing highly efficient algorithms for distance and shortest-path queries in recent years; many of the state-of-the-art algorithms use the hub labeling framework. In this paper, we study the approximability of the Hub Labeling problem. We prove a hardness of Ω(log n) for Hub Labeling, matching known approximation guarantees. The hardness result applies to graphs that have multiple shortest paths between some pairs of vertices. No hardness of approximation results were known previously. Then, we focus on graphs that have a unique shortest path between each pair of vertices. This is a very natural family of graphs, and much research on the Hub Labeling problem has studied such graphs. We give an O(log D) approximation algorithm for graphs of shortest-path diameter D with unique shortest paths. In particular, we get an O(log log n) approximation for graphs of polylogarithmic diameter, while previously known algorithms gave an O(log n) approximation. Finally, we present a polynomial-time approximation scheme (PTAS) and quasi-polynomial-time algorithms for Hub Labeling on trees; additionally, we analyze a simple combinatorial heuristic for Hub Labeling on trees, proposed by Peleg in 2000. We show that this heuristic gives an approximation factor of 2.

研究の動機と目的

• ハブラベル化問題に対する最初の既知の近似困難性結果を確立すること。
• 一意な最短経路をもつグラフに対する改善された近似アルゴリズムを設計すること。
• 木におけるハブラベル化の多項式時間近似スキーム（PTAS）および準多項式時間アルゴリズムを開発すること。
• 木におけるハブラベル化のPelegの2000年ヒューリスティックの近似係数を分析すること。
• 構造的グラフクラスにおけるハブラベル化の近似保証と困難性結果のギャップを埋めること。

提案手法

• 複数の最短経路をもつグラフに適用可能な還元技術を用いて、Ω(log n)の近似困難性を証明する。
• Dが最短経路直径である一意な最短経路をもつグラフに対して、O(log D)の近似アルゴリズムを設計する。
• 動的計画法および木分解技術を用いて、木におけるハブラベル化のPTASを達成する。
• 重心分解に基づく貪欲ラベリング戦略を用いて、木における準多項式時間アルゴリズムを導出する。
• 木の構造的性質を用いてPelegの2000年ヒューリスティックを分析し、2-近似因子がタイトであることを証明する。
• すべての距離クエリが定数個のラベル参照で答えられるラベリングフレームワークを採用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハブラベル化問題において達成可能な最良の近似比は何か。また、これは対数的要因によって上限づけられているか。
• RQ2 一意な最短経路をもつグラフ、特に直径が小さいグラフにおいて、近似保証を改善できるか。
• RQ3 木におけるハブラベル化に対してPTASは存在するか。また、既知のヒューリスティックの近似係数は何か。
• RQ4 Pelegの2000年ヒューリスティックの木におけるハブラベル化の近似係数は何か。また、それはタイトか。
• RQ5 一意な最短経路をもつグラフにおけるハブラベル化に対して、超定数の近似困難性は存在するか。

主な発見

• 本稿では、ハブラベル化に対するΩ(log n)の近似困難性を証明し、最高の既知の近似保証と一致する。
• 一意な最短経路をもつグラフに対して、Dが最短経路直径であるO(log D)の近似アルゴリズムが開発された。
• 直径が多対数的であるグラフでは、O(log log n)の近似が得られ、以前のO(log n)の境界を改善する。
• 木におけるハブラベル化に対して、多項式時間近似スキーム（PTAS）が提示された。
• 木におけるハブラベル化に対して、準多項式時間アルゴリズムが設計され、大規模なインスタンスに対して改善された近似が得られた。
• Pelegの2000年ヒューリスティックが木においてタイトな2-近似因子を達成することが証明され、その近似品質が解明された。