[論文レビュー] Algorithmic aspects of Brascamp-Lieb inequalities.

Ankit Garg, Leonid Gurvits+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2016

Advanced Optimization Algorithms Research被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、Brascamp-Lieb (BL) 定数の妥当性、最適 BL 定数、および BL-多面体の弱い分離オракルを計算するための、初めての多項式時間アルゴリズムを提示する。また、逆 Brascamp-Lieb 不等式に対しても同様の結果が得られる。このアプローチは、BL データをオペレータスケーリング問題のインスタンスに還元することで、最適 BL 定数の明示的連続性バウンドを効率的に計算可能にし、これまではコンパacts性の議論に依存していたため、未知であった。

ABSTRACT

The celebrated Brascamp-Lieb (BL) inequalities (and their extensions) are an important mathematical tool, unifying and generalizing numerous inequalities in analysis, convex geometry and information theory. While their structural theory is very well understood, far less is known about computing their main parameters. We give polynomial time algorithms to compute feasibility of BL-datum, the optimal BL-constant and a weak separation oracle for the BL-polytope. The same result holds for the so-called Reverse BL inequalities of Barthe. The best known algorithms for any of these tasks required at least exponential time. The algorithms are obtained by a simple efficient reduction of a given BL-datum to an instance of the Operator Scaling problem defined by Gurvits, for which the present authors have provided a polynomial time algorithm. This reduction implies algorithmic versions of many of the known structural results, and in some cases provide proofs that are different or simpler than existing ones. Of particular interest is the fact that the operator scaling algorithm is continuous in its input. Thus as a simple corollary of our reduction we obtain explicit bounds on the magnitude and continuity of the BL-constant in terms of the BL-data. To the best of our knowledge no such bounds were known, as past arguments relied on compactness. The continuity of BL-constants is important for developing non-linear BL inequalities that have recently found so many applications.

研究の動機と目的

• Brascamp-Lieb 不等式の主要パラメータを効率的に計算するアルゴリズムの開発。これまでは指数時間での計算しか知られていなかった。
• BL 理論における構造的結果のアルゴリズム的バージョンの提供。既知の定理に対する新しいまたは簡略化された証明を含む。
• BL 定数の連続性および大きさに関する明示的定量的バウンドの確立。これまではコンパクトネスに基づく議論によるギャップが残っていた。
• Barthe の逆 Brascamp-Lieb 不等式に対しても、これらのアルゴリズム的結果を拡張すること。
• オペレータスケーリングアルゴリズムの連続的性質を活用し、BL 定数の新たな連続性特性を導出すること。

提案手法

• 与えられた Brascamp-Lieb データを、多項式時間アルゴリズムを備えるオペレータスケーリング問題のインスタンスに還元する。
• オペレータスケーリングアルゴリズムの入力パラメータに対する連続的依存性を用いて、BL 定数の連続性バウンドを導出する。
• 統一された還元を用いて、標準的および逆 Brascamp-Lieb 不等式の両方のフレームワークにオペレータスケーリングを適用する。
• 同じ還元とアルゴリズム的枠組みを用いて、BL-多面体の弱い分離オラクルを構築する。
• この還元を通じて、BL データの妥当性が多項式時間で決定可能であることを確立する。
• 入力の BL データに基づいて、BL 定数の大きさに関する明示的バウンドを導出する。これまでは未知であった。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Brascamp-Lieb データの妥当性は多項式時間で決定可能か？
• RQ2 最適 BL 定数とは何か。そして、それを効率的に計算できるか？
• RQ3 BL 定数の明示的連続性バウンドは、そのアルゴリズム的計算から導出可能か？
• RQ4 同じアルゴリズム的枠組みを逆 Brascamp-Lieb 不等式に拡張可能か？
• RQ5 オペレータスケーリングアルゴリズムは、BL 定数の分析に新たな連続的アプローチを提供するか？

主な発見

• 本稿は、Brascamp-Lieb データの妥当性を決定するための最初の多項式時間アルゴリズムを提供する。
• 最適 Brascamp-Lieb 定数を計算するための最初の多項式時間アルゴリズムを提示する。
• BL-多面体の弱い分離オラクルが多項式時間で構築される。
• BL 定数の明示的連続性バウンドが導出され、これまでは未知であり、コンパクトネスのみでは得られなかった。
• 同じアルゴリズム的枠組みが逆 Brascamp-Lieb 不等式にも適用可能であり、この重要なクラスにまで結果が拡張される。
• オペレータスケーリングへの還元により、BL 理論における既知の結果の代替的または簡略化された証明を含む、新たな構造的洞察が明らかになる。