[論文レビュー] Algorithmic complexity of Greenberg's conjecture

Georges Gras|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、Greenbergの予想（λ = µ = 0）をアルゴリズム的視点から再解釈し、全実体の巡回Zp拡大におけるp類群の計算の複雑さが、最大アーベルp-分岐プロ-p拡大の有限ねじれ群Tkによって支配されることを示している。主な結果は、Greenbergの予想が成り立つのは、すべての段階でクラス群とノーム要因を計算するアルゴリズムがたかだか1ステップで終了するときであり、これはTkにおける理想ノームの等分布性による確率的根拠を示唆している。

ABSTRACT

Let $k$ be a totally real number field and $p$ a prime. We show that the ``complexity'' of Greenberg's conjecture ($\lambda = \mu = 0$) is of $p$-adic nature governed (under Leopoldt's conjecture) by the finite torsion group ${\mathcal T}_k$ of the Galois group of the maximal abelian $p$-ramified pro-$p$-extension of $k$, by means of images in ${\mathcal T}_k$ of ideal norms from the layers $k_n$ of the cyclotomic tower (Theorem (5.2)). These images are obtained via the formal algorithm computing, by ``unscrewing'', the $p$-class group of~$k_n$. Conjecture (5.4) of equidistribution of these images would show that the number of steps $b_n$ of the algorithms is bounded as $n o \infty$, so that Greenberg's conjecture, hopeless within the sole framework of Iwasawa's theory, would hold true ``with probability $1$''. No assumption is made on $[k : \mathbb{Q}]$, nor on the decomposition of $p$ in $k/\mathbb{Q}$.

研究の動機と目的

• Iwasawa理論におけるアルゴリズム的複雑性問題としてGreenbergの予想を再定式化すること。
• 最大アーベルp-分岐プロ-p拡大のガロア群Tkを、p類群計算の複雑さを支配する不変量として同定すること。
• すべての段階nでアルゴリズムのステップ数bn ≤ 1であるという有界性が、Greenbergの予想が確率1で成り立つことを示唆すること。
• アルゴリズムの終了とIwasawa不変量λ, µ, νの自明性との間の関係を確立すること。
• Tkにおける理想ノームの等分布性に基づく確率的戦略を提唱し、Greenbergの予想の証明への道筋を示すこと。

提案手法

• 本稿は、ガロア降下とノーム写像を用いて、p類群Cknのフィルトレーションを逐次的商C i+1kn / C iknによって計算する帰納的アルゴリズムを構築する。
• アルゴリズムに二つの主要な要因を定義する：『クラス要因』#Ck / #Nkn/k(C ikn) と『ノーム要因』pn·(#S−1) / (Λin : Λin ∩ Nkn/k(k×n)) で、両者とも反復の度に減少する。
• アルゴリズムの長さbnは、#Ck · #Rnrkのp進付値によって上から抑えられ、ここでRnrkはHprk/k∞における分岐に関連する正規化されたp進レギュレータの商である。
• 基本的理想tjは単数および理想のノームによって生成され、それらのTkにおける像がクラス要因とノーム要因の進化を支配する。
• 本手法は、特に群Tkの構造とTate–Chafarevich群III2kとの関係を含む、種の理論とIwasawa理論の形式的枠組みに依存している。
• 予想5.4は、CkおよびRkにおける基本的理想tjの像が一様分布していると仮定し、Greenbergの予想のもとでアルゴリズムが速やかに終了することを示唆している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 全実体の巡回Zp拡大におけるp類群の計算のアルゴリズム的複雑さは何か？ そしてそれはGreenbergの予想とどのように関係するか？
• RQ2 最大アーベルp-分岐プロ-p拡大のねじれ群Tkは、類群を計算するアルゴリズムの振る舞いをどのように支配するか？
• RQ3 すべての段階nでアルゴリズムのステップ数bn ≤ 1であるという有界性は、Iwasawa不変量λとµの消滅とどのように関連するか？
• RQ4 アルゴリズムが1ステップで終了する条件は何か？ そしてそれはGreenbergの予想に何を意味するか？
• RQ5 Tkにおける理想ノームの等分布性に基づく確率的根拠は、Greenbergの予想の正当化に役立つだろうか？

主な発見

• p類群Cknを計算するアルゴリズムの長さbnはvp(#Ck · #Rnrk)によって上から抑えられ、Greenbergの予想（λ = µ = ν = 0）はすべてのnに対してbn = 0であることと同値である。
• Greenbergの予想が成り立つのは、すべての段階nでアルゴリズムがたかだか1ステップで終了するとき、すなわちすべてのnに対してbn ≤ 1であることと同値である。
• 群Tkは、アルゴリズムにおけるクラス要因とノーム要因の進化を支配し、その構造がアルゴリズムの有界性を決定づける。
• 予想5.4は、基本的理想tjのCkおよびRkにおける像が一様分布していると仮定し、それによりbn ≤ 1がすべてのnに対して成り立つことが示唆され、Greenbergの予想が確率1で成り立つことを支持する。
• λまたはµが非ゼロであれば、n → ∞のときbn → ∞となることが示され、予想的状況と非予想的状況の間で急激な不連続性が生じる。
• 本稿は、Tkにおける理想ノームのランダムな振る舞いが、アルゴリズムの無限大成長を防ぎ、Greenbergの予想が「一般の」体に対して「おそらく」真であることを示唆するヒューリスティックな枠組みを提供する。