[論文レビュー] Algorithmic complexity of quantum states

C. E. Mora, Hans J. Briegel|ArXiv.org|Dec 22, 2004

Computability, Logic, AI Algorithms被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、高精度で状態を準備する量子回路の古典的記述長に基づいて、純粋な量子状態のアルゴリズム的複雑さの定義を提示する。任意のN量子ビット状態の複雑さがO(N²2^N)で上界に抑えられることを確立し、古典的ビットストリングを計算基底状態に写像する場合に、古典的コルモゴロフ複雑さと整合することを示す。

ABSTRACT

In this paper we give a definition for the Kolmogorov complexity of a pure quantum state. In classical information theory the algorithmic complexity of a string is a measure of the information needed by a universal machine to reproduce the string itself. We define the complexity of a quantum state by means of the classical description complexity of an (abstract) experimental procedure that allows us to prepare the state with a given fidelity. We argue that our definition satisfies the intuitive idea of complexity as a measure of ``how difficult'' it is to prepare a state. We apply this definition to give an upper bound on the algorithmic complexity of a number of states.

研究の動機と目的

• 状態を準備する際の困難さを反映する、純粋な量子状態に対する意味のあるアルゴリズム的複雑さの概念を定義すること。
• 量子情報理論における、エンタングルメントやフィデリティを超えた量子状態の複雑さを定量化する空白を埋めること。
• 定義が、状態準備のリソースコストとしての直感的な複雑さと整合することを保証すること。
• 古典的ビットストリングを量子状態として符号化した場合に、量子アルゴリズム的複雑さと古典的コルモゴロフ複雑さとの整合性を確立すること。

提案手法

• フィデリティ ≥ 1 - ε で状態を準備する量子回路の古典的記述のコルモゴロフ複雑さとして、量子状態の複雑さを定義する。
• （例：アダマール、トフォリなど）普遍的なゲートセットを用いて、有限な基本操作から任意の量子回路を構築する。
• 固定された符号化方式を用いて、回路をゲートや制御構造（例：改行）を記号に割り当てることで、古典的文字列として表現する。
• この文字列に対して、古典的コルモゴロフ複雑さの標準定義を適用し、量子状態のアルゴリズム的複雑さを求める。
• 与えられたフィデリティ閾値内で任意のN量子ビット状態を準備するのに必要な最悪ケースの回路サイズを分析することで、境界を確立する。
• 得られた複雑さをヴィタニの定義と比較し、差が多項式的であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 物理的な状態準備の困難さを反映する形で、純粋な量子状態のアルゴリズム的複雑さを形式的に定義する方法は何か？
• RQ2 この定義のもとで、任意のN量子ビット量子状態のアルゴリズム的複雑さの上界は何か？
• RQ3 古典的ビットストリングを量子状態として符号化した場合、この量子アルゴリズム的複雑さの定義は、古典的コルモゴロフ複雑さに還元されるか？
• RQ4 ヴィタニやベルティアウムらの以前の提案と比較して、この定義は整合性と計算コストの観点でどのように異なるか？
• RQ5 ゲートセットの粗大化に対して、複雑さ測度を不変に保てるか？ その際、漸近的挙動に影響を与えないか？

主な発見

• 任意のN量子ビット純粋な量子状態のアルゴリズム的複雑さは、O(N²2^N)で上界に抑えられ、これはフィデリティ ≥ 1 - 1/2^N で任意の状態を準備するのに必要な最大回路長から導出される。
• 状態|φ⟩に対して、K^ε_Vit(|φ⟩) ≤ 2^N log(ε_Vit) + N ≈ N が成り立ち、精度に対して対数的依存性があることが示される（ε_Vit = 1 - 1/2^N の場合）。
• ネットワーク複雑さ K_net(|φ⟩) は N²2^N log(ε_Vit) ≈ N² で上界に抑えられ、ヴィタニの境界より多項式的に大きいが、直感的な複雑さスケールと整合的である。
• 古典的Nビットストリングxを量子状態|x⟩として符号化した場合、量子アルゴリズム的複雑さ K_net(|x⟩) は、古典的コルモゴロフ複雑さ K_Cl(x) と漸近的に同等である。
• ゲートセットの粗大化に対しても定義は頑健であり、漸近的複雑さはこのような抽象化によっても不変のままである。
• このアプローチは、量子状態を抽象的な実験的手順として扱い、ボーアの見解に一致する — すなわち、状態は物理的対象ではなく、物理的準備状況を反映するものである。