[論文レビュー] Algorithmic Properties of Relatively Hyperbolic Groups

Donovan Yves Rebbechi|ArXiv.org|Feb 20, 2003

Geometric and Algebraic Topology参考文献 8被引用数 46

ひとこと要約

この論文は、相対的に双曲的群およびその中心拡大が双自動的であるための十分条件を、双曲的および幾何的に有限な群の結果を一般化することで確立する。CAT(−k)幾何、電気的等周不等式、および一般化された類似経路による偽装性の性質を用いて、群が双曲的である相対部分群が双自動的で、かつ正規形が接頭語閉じている場合、さらに拡大類が放物的部分群上で消えるならば、その拡大は双自動的であることを証明する—古典的な結果を相対的に双曲的設定へと拡張する。

ABSTRACT

The following discourse is inspired by the works on hyperbolic groups of Epstein, and Neumann/Reeves. Epstein showed that geometrically finite hyperbolic groups are biautomatic. Neumann/Reeves showed that virtually central extensions of word hyperbolic groups are biautomatic. We prove the following generalisation: Theorem. Let H be a geometrically finite hyperbolic group. Let sigma in H^2(H) and suppose that sigma restricted to P is zero for any parabolic subgroup P of H. Then the extension of H by sigma is biautomatic. We also prove another generalisation of the result of Epstein. Theorem. Let G be hyperbolic relative to H, with the bounded coset penetration property. Let H be a biautomatic group with a prefix-closed normal form. Then G is biautomatic. Based on these two results, it seems reasonable to conjecture the following (which the author believes can be proven with a simple generalisation of the argument in Section 1): Let G be hyperbolic relative to H, where H has a prefixed closed biautomatic structure. Let sigma in H^2(G) and suppose that sigma restricted to H is zero. Then the extension of G by sigma is biautomatic.

研究の動機と目的

• コhomology的消滅条件の下で、中心拡大に対するエプスタインの双自動的性に関する結果を、相対的に双曲的群へ一般化すること。
• ワード双曲的群の中心拡大の双自動的性に関するニューマン＝リーヴズの結果を、相対的に双曲的設定へ拡張すること。
• 接頭語閉じた正規形を備えた双自動的部分群に関して相対的に双曲的である群が、自身も双自動的であるための条件を確立すること。
• 電気的幾何と等周境界を用いて、相対的に双曲的群における双自動的性のための枠組みを提供すること。

提案手法

• Gromフ・双曲的距離空間としてのカスプ除去カイリーコンプレックスを、重み付き長さ関数および面積関数を備えて構成する。
• カスプ除去コンプレックスが線形電気的等周不等式を満たすことを証明し、Gromov双曲的であることを示す。
• 理想三角形に対するCAT(−k)理論を構築し、カスプ除去コンプレックス内の測地線を分析する。
• カスプ除去カイリーグラフ内の経路に対して、一般化された類似経路による偽装性の性質を確立する。
• 前綴語閉じた正規形と一様な類似経路境界を用いて、一般化された自動性補題（[E] からのもの）を適用する。
• 有界コセット浸透性および群族的理論的道具を用いて、放物的部分群付近での経路の振る舞いを制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 中心拡大が相対的に双曲的群である場合、どのような条件下で双自動的になるか？
• RQ2 コhomology類がすべての放物的部分群上で消える場合、幾何的に有限な双曲的群の中心拡大について、その双自動的性が拡張可能か？
• RQ3 双自動的部分群に関して相対的に双曲的であり、正規形が接頭語閉じている場合、その周囲の群の双自動的性は保たれるか？
• RQ4 電気的等周不等式およびCAT(−k)幾何を用いて、カスプ除去カイリーコンプレックスのGromov双曲的性を証明できるか？
• RQ5 一般化された類似経路による偽装性の性質は、相対的に双曲的設定において双自動的性を保証するために十分か？

主な発見

• すべての放物的部分群上で消えるコhomology類による、幾何的に有限な双曲的群の中心拡大は双自動的である。
• 接頭語閉じた正規形を備えた双自動的群に関して相対的に双曲的である群は、有界コセット浸透性を備える場合、自身も双自動的である。
• 相対的に双曲的群のカスプ除去カイリーコンプレックスは、線形電気的等周不等式によってGromov双曲的であることが示された。
• 線形電気的等周不等式の存在は、カスプ除去コンプレックスのGromov双曲的性を示し、自動的性の道具立ての適用を可能にする。
• 一般化された類似経路による偽装性の性質と、接頭語閉じた正規形の組み合わせにより、一般化された自動性補題によって双自動的性が保証される。
• 証明は、相対的に双曲的群の文脈において、幾何的群論と形式的言語理論の間の概念的橋渡しを確立する。