[論文レビュー] Algorithmic solvability of the lifting-extension problem

Martin Čadek, Marek Krčál+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、自由な群作用をもつ有限単体的集合間の等変連続写像のすべての等変ホモトピー類の集合を計算する最初のアルゴリズムを提示する。連結性と次元の制約の下で、固定された群と連結度数に対して多項式時間で計算可能である。有効ホモロジーとムーア–ポストニコフ塔を活用することで、昇降拡張問題のアルゴリズム的可解性が解決され、メタ安定範囲における位相的埋め込みの決定が多項式時間で可能になる。

ABSTRACT

Let $X$ and $Y$ be finite simplicial sets (e.g. finite simplicial complexes), both equipped with a free simplicial action of a finite group $G$. Assuming that $Y$ is $d$-connected and $\dim X\le 2d$, for some $d\geq 1$, we provide an algorithm that computes the set of all equivariant homotopy classes of equivariant continuous maps $|X| o|Y|$; the existence of such a map can be decided even for $\dim X\leq 2d+1$. For fixed $G$ and $d$, the algorithm runs in polynomial time. This yields the first algorithm for deciding topological embeddability of a $k$-dimensional finite simplicial complex into $\mathbb{R}^n$ under the conditions $k\leq\frac 23 n-1$. More generally, we present an algorithm that, given a lifting-extension problem satisfying an appropriate stability assumption, computes the set of all homotopy classes of solutions. This result is new even in the non-equivariant situation.

研究の動機と目的

• 自由な群作用をもつ有限単体的集合間の等変連続写像のすべての等変ホモトピー類の集合を計算するアルゴリズムを開発すること。
• 次元と連結性の制約の下で、このような写像の存在を決定すること。特に、dim X ≤ 2d+1 のメタ安定範囲に拡張すること。
• 有効ホモロジーとムーア–ポストニコフ塔を用いて、等変設定における昇降拡張問題の一般アルゴリズム的解法を提供すること。
• 固定された群と連結度数に対してホモトピー類の多項式時間計算可能性を確立し、位相的埋め込みのアルゴリズム的決定を可能にすること。
• 非等変な既存の結果を等変の場合に一般化し、ホモトピー類の計算とホモトピー同値性のテストを含むこと。

提案手法

• セルジェルタール他による有効ホモロジー技術を用い、ホモトピー類をアルゴリズム的に計算する。
• ムーア–ポストニコフ塔を用いて、ポストニコフ不変量とコhomologicalデータを介して、昇降拡張問題の解を帰納的に構成する。
• 有効構造における五能論を用いて、等変コチェインとその上昇を多項式時間で構成する。
• 引き戻し函手を用いて、等変写像に沿ってムーア–ポストニコフ系を転送し、有効ホモロジーを保存する。
• 昇降問題の2段階的分解を用いる：まず有効コチェインを計算し、その後多項式時間の準同型を用いて解を構成する。
• 昇降拡張問題の安定性に依存し、Y が d-連結で、dim X ≤ 2d+1 であると仮定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自由な G-作用をもつ有限単体的集合間の等変写像のすべての等変ホモトピー類の集合は、アルゴリズム的に計算可能か？
• RQ2 次元と連結性の制約 dim X ≤ 2d+1 および Y が d-連結である下で、等変写像の存在は多項式時間で決定可能か？
• RQ3 有効ホモロジーとポストニコフ系を用いて、等変設定における昇降拡張問題をアルゴリズム的に解けるか？
• RQ4 このアルゴリズムは、等変ホモトピー類の群の同型型を有限生成アーベル群として計算可能か？
• RQ5 k次元単体的複体が R^n に位相的に埋め込めるかどうかを、k ≤ 2/3n − 1 のとき、このアルゴリズムで決定可能か？

主な発見

• 固定された G と d に対して、Y が d-連結で dim X ≤ 2d のとき、本アルゴリズムは等変ホモトピー類の集合を多項式時間で計算可能である。
• dim X ≤ 2d+1 のとき、本アルゴリズムは等変写像の存在を多項式時間で決定可能である。
• 等変ホモトピー類の集合は、有限生成アーベル群をなす。その同型型は生成子と関係式を用いて計算され、出力される。
• k ≤ 2/3n − 1 のとき、本アルゴリズムは k 次元単体的複体が R^n に位相的に埋め込めるかどうかを多項式時間で決定可能である。
• 本手法は、非等変な既存の結果を等変の場合に一般化し、この文脈における最初のアルゴリズム的解法を提供する。
• 有効ホモロジーと有効チェイン複体および準同型への多項式時間函手の使用により、構成が多項式時間で実現される。