[論文レビュー] Algorithmic Theories of Everything

Jürgen Schmidhuber|ArXiv.org|Nov 30, 2000

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 73被引用数 82

ひとこと要約

本稿は、計算可能性とアルゴリズム的確率に基づく、アルゴリズム的全理論（TOE）の形式的枠組みを提案する。速く計算可能な宇宙に高い確率を割り当てる「スピード・プロパー」を導入し、従来の可算測度を支配する普遍的な累次的に可算可能な測度（CEM）を確立する。短い記述または高速な計算が可能な宇宙は、著しく高い確率を持つことが示され、離散的かつ構成的宇宙モデルにおける帰納的推論と物理的予測の基盤が提供される。

ABSTRACT

The probability distribution P from which the history of our universe is sampled represents a theory of everything or TOE. We assume P is formally describable. Since most (uncountably many) distributions are not, this imposes a strong inductive bias. We show that P(x) is small for any universe x lacking a short description, and study the spectrum of TOEs spanned by two Ps, one reflecting the most compact constructive descriptions, the other the fastest way of computing everything. The former derives from generalizations of traditional computability, Solomonoff's algorithmic probability, Kolmogorov complexity, and objects more random than Chaitin's Omega, the latter from Levin's universal search and a natural resource-oriented postulate: the cumulative prior probability of all x incomputable within time t by this optimal algorithm should be 1/t. Between both Ps we find a universal cumulatively enumerable measure that dominates traditional enumerable measures; any such CEM must assign low probability to any universe lacking a short enumerating program. We derive P-specific consequences for evolving observers, inductive reasoning, quantum physics, philosophy, and the expected duration of our universe.

研究の動機と目的

• アルゴリズム的確率と構成的記述可能性に基づく全理論（TOE）を形式化し、非可算または非計算可能な構造に依存しないようにすること。
• 最小記述長と計算速度の両方を基準として、普遍的事前確率への帰納的バイアスを扱うことで、可能な宇宙に対する事前確率を割り当てる。
• 従来のアルゴリズム的測度を支配する普遍的で累次的に可算可能な測度（CEM）を導出し、高速に計算可能な宇宙がより可能性が高いという考えを反映すること。
• このようなTOEの物理的・哲学的含意を検討し、量子力学、観測者進化、宇宙の予想寿命といった予測を含む。
• アルゴリズム的複雑性、無限計算の収束確率、離散的かつ計算可能な枠組みにおける物理法則の妥当性との間の形式的リンクを確立すること。

提案手法

• 宇宙が有限のプログラムによってその全歴史を計算でき、各出力ビットが有限回しか変化しない場合に、それを構成的記述可能と定義する。
• EOM（可算出力マシン）およびGTU（一般チューリングマシン）における一般化されたコルモゴロフ複雑度を定義し、非停止計算への従来のアルゴリズム的複雑度を拡張する。
• レヴィンの普遍的探索に基づくスピード・プロパー S を提案し、宇宙の事前確率がその計算に要する時間の逆数に比例することを定義する。
• すべての従来の可算測度を支配する普遍的で累次的に可算可能な測度（CEM）を導出し、短い記述や高速に計算可能な記述の欠片のある宇宙には低い確率を割り当てる。
• TMの収束確率を用いて、形式的記述可能な宇宙上の形式的測度を定義し、構成的数学および計算可能性理論と整合性を持つようにする。
• アルゴリズム的推測のための実用的手法である「Algorithm GUESS」を用い、スピード・プロパーを高速に計算可能な仮説に基づく系列予測に応用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての形式的記述可能な宇宙に対する正しい事前確率分布は何か？ そして、従来のアルゴリズム的確率とはどのように異なるか？
• RQ2 可能な宇宙に対する事前確率を割り当てる際、最小記述長と計算速度の両方をどのようにバランスさせるか？
• RQ3 スピード・プロパーに基づくTOEの物理的結果は何か？ 特に、波動関数の収束や多世界解釈の分岐といった量子現象に関して。
• RQ4 スピード・プロパーから、私たちの宇宙の予想寿命を予測できるか？ その定量的値は何か？
• RQ5 提案された普遍的CEMは、ソロモンフの事前確率など既存の測度とどのように比較できるか？ そして、帰納的推論においてどのような利点を提供するか？

主な発見

• スピード・プロパー S は、時間 t で計算可能な任意の宇宙に対して、確率を 1/t に比例して割り当てる。これにより、高速に計算可能な宇宙は、遅いものに比べて著しく高い確率を持つ。
• 普遍的で累次的に可算可能な測度（CEM）は、すべての従来の可算測度を支配し、短い記述や高速に計算可能な記述の欠片のない宇宙には低い確率を割り当てる。
• スピード・プロパー下での私たちの宇宙の予想寿命は、t が宇宙の歴史を計算する時間である場合、1/t のオーダーで推定され、有限ではあるが、長寿命な宇宙である可能性を示唆する。
• スピード・プロパーは、計算複雑性に基づく量子力学と整合する予測を導く。たとえば、ベータ崩壊の確率や多世界分岐の発生率に関する予測である。
• 本稿では、実数の大多数や非可算構造が形式的意味で記述可能でないことが示され、計算可能な可算的宇宙のみが物理的に関係するという考えを強化する。
• この枠組みは、ブラウワーの直観主義やクロネッカーの主張（「整数だけが根本的であり、それ以外は人間が作ったものである」）と整合する、構成的で有限的（finitary）な数学および物理学の見方を支持する。