[論文レビュー] Algorithmically complex residually finite groups

Olga Kharlampovich, Alexei Myasnikov+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2012

Geometric and Algebraic Topology参考文献 27被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、3階の可解群におけるミンスキー・マシンのシミュレーションを用いて、任意に高い再帰的デーン関数および深さ関数をもつ、初めての有限生成で残留有限な群を構成する。主な貢献は、3階の有限可解群の普遍理論が決定不能であることを証明し、アルゴリズム群論における長年の未解決問題を解決したことである。

ABSTRACT

We construct the first examples of an algorithmically complex finitely presented residually finite groups and first examples of finitely presented residually finite groups with arbitrarily large (recursive) Dehn function and depth function. The groups are solvable of class 3. We also prove that the universal theory of finite solvable of class 3 groups is undecidable.

研究の動機と目的

• 任意に大きなデーン関数をもつ有限生成で残留有限な群の構成。
• 任意に大きな深さ関数をもつこのような群の存在を示すこと。
• 3階の有限可解群の普遍理論が決定可能かどうかという未解決問題を解決すること。
• 残留有限群におけるアルゴリズム的複雑性が、超指数関数的境界を超える可能性を示すこと。
• ミンスキー・マシンのシミュレーションを可解群へ拡張し、普遍理論における決定不能性を実現すること。

提案手法

• 大きな深さ関数をもつ有限生成半群を用いたミンスキー・マシンのシミュレーション。
• 群論的構成を用いて、これらの半群を3階の可解群へ埋め込むこと。
• HNN拡大とp進位相を用い、残留有限性を保ちながら歪みを制御すること。
• 受理集合と非終了集合が決定不能である4ガラスのミンスキー・マシンをシミュレートする群 $ G'(M_n) $ を構成すること。
• 普遍論理式を用いて、受理状態と非終了状態の集合の再帰的分離不能性を証明すること。
• クラス $ \mathcal{A}_p^2\mathcal{A} \cap \mathcal{Z}\mathcal{N}_5\mathcal{A} $ に属する有限群の普遍理論が決定不能であることを確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限生成で残留有限な群が、任意に高い再帰的関数よりも速く成長するデーン関数をもつことができるか？
• RQ2 任意に大きな深さ関数をもつ有限生成で残留有限な群が存在するか？
• RQ3 3階の有限可解群の普遍理論が決定可能であるか？
• RQ4 p進位相閉部分群における歪みとHNN拡大の残留有限性との関係は何か？
• RQ5 ミンスキー・マシンを有限生成可解群でシミュレートすることで、その普遍理論に決定不能性をもたらすことは可能か？

主な発見

• 本稿は、任意に高い再帰的デーン関数をもつ、初めての有限生成で残留有限な群の例を構成した。
• 本稿は、任意に大きな深さ関数をもつ、初めての有限生成で残留有限な群の例を提供した。
• 3階の有限可解群の普遍理論が決定不能であることが証明された。
• 3階の可解群における4ガラスのミンスキー・マシンのシミュレーションを用いて、決定不能性を達成した。
• 群 $ G'(M_n) $ は有限生成であり、残留有限であり、かつ単語問題が決定不能である。
• ミンスキー・マシンのシミュレーションにおける受理状態と非終了状態の集合の再帰的分離不能性は、対応する有限群のクラスにおける普遍理論の決定不能性を示唆する。