[論文レビュー] Algorithms and Almost Tight Results for 3-Colorability of Small Diameter Graphs

George B. Mertzios, Paul G. Spirakis|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2012

Advanced Graph Theory Research参考文献 20被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、直径が2以下のグラフに対する3色彩色の最初の部分指数時間アルゴリズムを提示し、時間 $2^{O(\sqrt{n\log n})}$ で実行され、ETHに基づく下界を用いて直径3のグラフにおける3色彩色のタイトな複雑度境界を確立する。また、関節近傍を持つ直径2のグラフに対する多項式時間アルゴリズムを導入し、$\delta = \Theta(n^\varepsilon)$、$\varepsilon \in [\frac{1}{2},1)$ である直径3のグラフに対してほぼ最適なアルゴリズムを提供する。

ABSTRACT

In spite of the extensive studies of the 3-coloring problem with respect to several basic parameters, the complexity status of the 3-coloring problem on graphs with small diameter, i.e. with diameter 2 or 3, has been a longstanding and challenging open question. For graphs with diameter 2 we provide the first subexponential algorithm with complexity $2^{O(\sqrt{n\log n})}$, which is asymptotically the same as the currently best known time complexity for the graph isomorphism (GI) problem. Moreover, we prove that the graph isomorphism problem on 3-colorable graphs with diameter 2 is GI-complete. Furthermore we present a subclass of graphs with diameter 2 that admits a polynomial algorithm for 3-coloring. For graphs with diameter 3 we establish the complexity of 3-coloring by proving that for every $\varepsilon \in [0,1)$, 3-coloring is NP-complete on triangle-free graphs of diameter 3 and radius 2 with $n$ vertices and minimum degree $δ=Θ(n^{\varepsilon})$. Moreover, assuming ETH, we provide three different amplifications of our hardness results to obtain for every $\varepsilon \in [0,1)$ subexponential lower bounds for the complexity of 3-coloring on triangle-free graphs with diameter 3 and minimum degree $δ=Θ(n^{\varepsilon})$. Finally, we provide a 3-coloring algorithm with running time $2^{O(\min\{δΔ,\frac{n}δ\logδ\})}$ for graphs with diameter 3, where $δ$ (resp. $Δ$) is the minimum (resp. maximum) degree of the input graph. To the best of our knowledge, this algorithm is the first subexponential algorithm for graphs with $δ=ω(1)$ and for graphs with $δ=O(1)$ and $Δ=o(n)$. Due to the above lower bounds of the complexity of 3-coloring, the running time of this algorithm is asymptotically almost tight when the minimum degree if the input graph is $δ=Θ(n^{\varepsilon})$, where $\varepsilon \in [1/2,1)$.

研究の動機と目的

• 直径が2以下であるグラフにおける3色彩色の複雑度に関する長年の未解決問題を解消すること。
• 直径2のグラフに対する3色彩色の最初の部分指数時間アルゴリズムを開発し、ブルートフォースによる指数時間より改善すること。
• 三角形を含まない直径3のグラフにおける3色彩色に対して、指数時間仮説（ETH）に基づくタイトな部分指数時間下界を確立すること。
• 関節近傍という新しい構造的概念を導入し、直径2のグラフの部分クラスにおいて多項式時間での3色彩色を可能にする。
• 最小次数 $\delta$ と最大次数 $\Delta$ のトレードオフを活用し、一般の直径3のグラフに対するほぼ最適な3色彩色アルゴリズムを設計し、$2^{O(\min\{\delta\Delta, \frac{n}{\delta}\log\delta\})}$ の実行時間とし、ETHのもとでその漸近的最適性を証明すること。

提案手法

• 頂点被覆と近傍構造に基づく分割統治アプローチを用いて、直径2のグラフにおける3色彩色の新しい部分指数時間アルゴリズムを提案し、$2^{O(\sqrt{n\log n})}$ の時間計算量を達成する。
• 「関節近傍」と呼ばれる頂点集合の概念を導入する——その集合の削除によって連結成分の数が増加する——これを用いて、このような近傍が存在する場合に多項式時間での3色彩色を実現するアルゴリズムを設計する。
• 3-SATから、直径3、半径2、非可約かつ三角形を含まないグラフへの3色彩色への還元を、巧みに設計されたグラフ積と拡張技術を用いて構築する。
• 3つの異なる拡張技術（次数スケーリングとグラフ積の合成を含む）を適用し、ハードネス結果を強化し、ETHのもとで部分指数時間下界を導出する。
• 最小次数 $\delta$ と最大次数 $\Delta$ のトレードオフを活用し、$\min\{\delta\Delta, \frac{n}{\delta}\log\delta\}$ に依存する分岐戦略を用いることで、直径3のグラフに対する一般の3色彩色アルゴリズムを設計する。
• 指数時間仮説（ETH）を用いて、三角形を含まない直径3のグラフで $\delta = \Theta(n^\varepsilon)$、$\varepsilon < 1/3$ の場合に、3色彩色を $2^{o(\sqrt{n/\delta})}$ 時間で解くアルゴリズムは存在しないことを証明し、提案されたアルゴリズムの漸近的最適性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 直径が2以下のグラフにおける3色彩色は部分指数時間で解けるか？ もしそうなら、最良の時間計算量は何か？
• RQ2 直径2のグラフに関節近傍が存在する場合、3色彩色は多項式時間で解けるか？
• RQ3 特に最小次数が $\delta = \Theta(n^\varepsilon)$（$\varepsilon \in [0,1)$）である場合に、三角形を含まない直径3のグラフにおける3色彩色の複雑度は何か？
• RQ4 指数時間仮説（ETH）のもとで、直径3のグラフにおける3色彩色に対して部分指数時間下界を確立できるか？
• RQ5 $\delta = \Theta(n^\varepsilon)$、$\varepsilon \in [\frac{1}{2},1)$ であるグラフに対して、提案された直径3のグラフの3色彩色アルゴリズムは漸近的に最適か？

主な発見

• 直径2のグラフにおける3色彩色の部分指数時間アルゴリズムは $2^{O(\sqrt{n\log n})}$ 時間で実行され、グラフ同型性問題の最良-known 複雑度と一致する。
• 直径2のグラフに少なくとも1つの関節近傍が存在する場合、3色彩色の多項式時間アルゴリズムが提示される。
• 任意の $\varepsilon \in [0,1)$ に対して、$n$ 頂点、最小次数 $\delta = \Theta(n^\varepsilon)$、直径3、半径2、三角形を含まないグラフにおける3色彩色はNP完全である。
• ETHを仮定すると、三角形を含まない直径3のグラフで $\delta = \Theta(n^\varepsilon)$、$\varepsilon < 1/3$ の場合に、3色彩色を $2^{o(\sqrt{n/\delta})}$ 時間で解くアルゴリズムは存在しない。これは部分指数時間下界を確立する。
• 一般の直径3のグラフに対する3色彩色アルゴリズムは $2^{O(\min\{\delta\Delta, \frac{n}{\delta}\log\delta\})}$ 時間で実行され、$\delta = \Theta(n^\varepsilon)$（$\varepsilon \in [\frac{1}{2},1)$）のとき漸近的にタイトである。
• 提案されたアルゴリズムは、$\delta = \omega(1)$ の場合、および $\delta = O(1)$ かつ $\Delta = o(n)$ の場合に、直径3のグラフに対する最初の部分指数時間アルゴリズムであり、文献における重要なギャップを埋める。