[論文レビュー] Algorithms and Classification in Groups of Piecewise-Linear Homeomorphisms

Kenneth S. Brown|ArXiv.org|Jul 18, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 45被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、トマソン群 F、T、V における基本的決定問題を解くためのアルゴリズムを提示している。これには、同時共役問題、根の計算、中心化子の決定が含まれる。ストランド図とメイザー不変量を用いて、完全な共役不変量を確立し、群に基づく暗号プロトコルの cryptanalysis を実施することで、区分的線形同相写像群の包括的なアルゴリズム的枠組みを提供する。

ABSTRACT

This manuscript represents the author's PhD dissertation thesis.The first part studies decision problems in Thompson's groups F,T,V and some generalizations. The simultaneous conjugacy problem is determined to be solvable for Thompson's group F and suitable larger groups of piecewise-linear homeomorphisms of the unit interval. We determine algorithms to compute roots and centralizers in these groups and to detect periodic points and their behavior by looking at a particular diagram associated to an element. In the second part, we describe the structure of subgroups of the group of all homeomorphisms of the unit circle, with the additional requirement that they contain no non-abelian free subgroup. It is shown that in this setting the rotation number map is a group homomorphism. We give a classification of such subgroups as subgroups of certain wreath products and we show that such subgroups can exist by building examples. Similar techniques are then used to compute centralizers in these groups.

研究の動機と目的

• 幾何的群論と論理学において中心的な役割を果たすトマソン群 F、T、V in 決定問題を解くためのアルゴリズムを開発すること。
• 区分的線形的および組合せ的（ストランド図）手法を併用して、F および関連群における同時共役問題を完全に解くこと。
• メイザー不変量とストランド図を用いて共役不変量を構成し、群の元同士の効果的な比較を可能にすること。
• 図式還元に基づくアルゴリズム的手法を用いて、これらの群における根と中心化子を計算すること。
• F in の分解問題に依存する群に基づく暗号プロトコルの完全な cryptanalysis を実施すること

提案手法

• トマソン群 F の元を表すために、縮小された環状ストランド図を組合せ的表現として用い、アルゴリズム的処理と共役性のテストを可能にする。
• F 内の1つぶつ型関数にメイザー不変量の構成を適用し、共役性が端点での勾配と不変量の値によって決定されることを示す。
• 元を一定勾配を持つ区間への分解を活用して、F 内の共役問題を群の小群における成分ごとの共役問題に還元する。
• 非アーベル自由部分群を含まない円周同相写像の部分群において、回転数写像が群準同型であることを示し、群の構造を wreath 積構造を用いて分類可能とする。
• 閉じたストランド図の構造を用いて周期点を検出し、群の元によるその力学的挙動を分析する。
• 図式群および群の小群作用の技術を用いて、F からの結果を T および V に一般化し、共役アルゴリズムを拡張する

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トマソン群 F 及びその一般化において、同時共役問題は解けるか？
• RQ2 区分的線形的および組合せ的（ストランド図）表現を併用して、完全な共役不変量を構成できるか？
• RQ3 区分的線形同相写像群における根と中心化子は、どのようにアルゴリズム的に計算できるか？
• RQ4 F 内の1つぶつ型関数の共役性を決定する際に、メイザー不変量はどのような役割を果たすか？
• RQ5 F における分解問題に依存する群に基づく暗号プロトコルは、開発されたアルゴリズムを用いて cryptanalysis が可能か？

主な発見

• トマソン群 F および単位区間上の区分的線形同相写像の適切なより大きな群において、同時共役問題は解ける。
• 区分的線形構造および縮小された環状ストランド図の両方から共役不変量が構成され、共役性の完全かつアルゴリズム的な基準が得られる。
• F 内の根と中心化子は、ストランド図還元と成分ごとの分析を用いてアルゴリズム的に計算可能である。
• 周期点およびその力学的挙動は、群の元に関連する閉じたストランド図を分析することで検出可能である。
• F における分解問題に依存する群に基づく暗号プロトコルの完全な cryptanalysis が達成され、そのプロトコルが提示されたアルゴリズムの下で安全でないことが示された。
• 非アーベル自由部分群を含まない円周同相写像群の部分群は、特定の wreath 積の部分群として分類可能であり、この設定において回転数写像が群準同型であることが示された。