[論文レビュー] Algorithms and Convergence Results of Projection Methods for Inconsistent Feasibility Problems: A Review

Yair Censor, Maroun Zaknoon|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2018

Optimization and Variational Analysis参考文献 53被引用数 50

ひとこと要約

不整合凸可行性問題に対する投影法の包括的レビューで、収束結果、アルゴリズム、および主要な理論的発展を要約する。

ABSTRACT

The convex feasibility problem (CFP) is to find a feasible point in the intersection of finitely many convex and closed sets. If the intersection is empty then the CFP is inconsistent and a feasible point does not exist. However, algorithmic research of inconsistent CFPs exists and is mainly focused on two directions. One is oriented toward defining other solution concepts that will apply, such as proximity function minimization wherein a proximity function measures in some way the total violation of all constraints. The second direction investigates the behavior of algorithms that are designed to solve a consistent CFP when applied to inconsistent problems. This direction is fueled by situations wherein one lacks a priori information about the consistency or inconsistency of the CFP or does not wish to invest computational resources to get hold of such knowledge prior to running his algorithm. In this paper we bring under one roof and telegraphically review some recent works on inconsistent CFPs.

研究の動機と目的

• 不整合凸可行性問題（CFP）に関する主要概念と動機を要約する。
• CFPの不整合に対処するために使用される歴史的および最近の投影法ベースのアルゴリズムを調査する。
• さまざまな投影スキームにおける収束結果と条件を強調する。
• 理論（不動点、変分不等式）と投影法の実用的応用とのつながりを橋渡しする。

提案手法

• 2つの集合に対する投影演算子の合成と収束性、および複数集合への拡張について論じる。
• 循環投影スキームとブロック逐次投影スキーム、およびそれらの収束特性を説明する。
• 不整合な設定における最小二乗解の解釈とブロック-Kaczmarz relaxation の結果を説明する。
• CFPを同値な最適化問題に変換する積空間の再構成を要約する。
• べグマン投影に基づく近接関数最小化と関連するアルゴリズムスキームの概要。
• 文字列平均化投影（SAP）と不整合の場合の収束を提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制約集合の交わりが空である場合、古典的な投影法はどのような収束特性を示すか？
• RQ2 循環、ブロック、および文字列平均化投影スキームが収束する条件と収束速度はどうなるか？
• RQ3 積空間形式と近接関数最小化が不整合CFPの解法にどのように影響するか？
• RQ4 アンダーリラクゼーション投影法の文脈におけるDe Pierroの予想の現在の状況は？

主な発見

• さまざまな仮定の下で、投影法は不整合CFPにおいて不動点や最小二乗解／近傍解へ収束する可能性がある。
• 循環およびブロック逐次投影は、有界性、有限次元、polyhedral集合などの条件下で弱収束または強収束を示す。
• アンダーリラクゼーションとブロック‑Kaczmarzリラクゼーションは、リラクゼーションパラメータが0に近づくにつれて最小二乗解に近づく極限をもたらす。
• 積空間の再構成は並列投影法が不整合CFPを解くことを可能にし、収束結果を得る。
• Bregman投影に基づく近接最小化は、近接関数の最小化解へ収束する枠組みを提供する。
• 文字列平均化投影は適用範囲を拡大し、不整合の場合にも統一的な枠組みを通じて収束を維持する。