[論文レビュー] Algorithms and Hardness for Diameter in Dynamic Graphs

Bertie Ancona, Monika Henzinger+3 more|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 30被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、有向および無向グラフにおけるグラフ径値、半径、および同心円距離のほぼ最適な動的近似アルゴリズムを提示する。これは、増分的／減分的単一始点最短経路（SSSP）への還元を活用している。一般的に受け入れられている細粒度複雑性の仮説のもとで、元の再計算または完全なAPSPの維持に匹敵するよりも著しく優れた完全動的近似は存在しないことが示され、減分的グラフにおける径値について、(3/2 + ϵ)近似を総実行時間 m^{1+o(1)}√n/ϵ² で達成している。これは静的アルゴリズムの条件的最適性と一致する。

ABSTRACT

The diameter, radius and eccentricities are natural graph parameters. While these problems have been studied extensively, there are no known dynamic algorithms for them beyond the ones that follow from trivial recomputation after each update or from solving dynamic All-Pairs Shortest Paths (APSP), which is very computationally intensive. This is the situation for dynamic approximation algorithms as well, and even if only edge insertions or edge deletions need to be supported. This paper provides a comprehensive study of the dynamic approximation of Diameter, Radius and Eccentricities, providing both conditional lower bounds, and new algorithms whose bounds are optimal under popular hypotheses in fine-grained complexity. Some of the highlights include: - Under popular hardness hypotheses, there can be no significantly better fully dynamic approximation algorithms than recomputing the answer after each update, or maintaining full APSP. - Nearly optimal partially dynamic (incremental/decremental) algorithms can be achieved via efficient reductions to (incremental/decremental) maintenance of Single-Source Shortest Paths. For instance, a nearly $(3/2+ε)$-approximation to Diameter in directed or undirected graphs can be maintained decrementally in total time $m^{1+o(1)}\sqrt{n}/ε^2$. This nearly matches the static $3/2$-approximation algorithm for the problem that is known to be conditionally optimal.

研究の動機と目的

• 直径、半径、および同心円距離といった基本的グラフパラメータの動的近似アルゴリズムの理解におけるギャップを埋めること。
• SETH などの細粒度複雑性仮説のもとで、完全動的近似の条件的下界を確立すること。
• 動的SSSPの維持への還元によって、ほぼ最適な部分的動的（増分／減分）アルゴリズムを開発すること。
• 既存の動的近似バウンドが条件的最適であるか、それらを改善できるかを特定すること。
• 近似品質、更新時間、および動的グラフ操作の間のトレードオフを包括的に調査すること。

提案手法

• 動的直径、半径、および同心円距離の近似を、増分的または減分的単一始点最短経路（SSSP）の維持に還元する。
• eccentricityを(1−ϵ)要因内で近似できるような頂点をサンプリングするための決定的センター選択戦略を用いる。
• 近似誤差を距離推定値に制限するために、誤差パラメータ ϵ′ = ϵ/2 を用いた近似SSSPデータ構造を採用する。
• 各頂点ごとに最大ヒープを維持し、任意のセンターへの最大推定距離を追跡し、クエリ応答に使用する。
• 各更新後にセンター集合を効率的に更新できるように、辺の挿入をサポートする変更されたSSSPアルゴリズムを適用する。
• 強連結成分（SCC）の検出と頂点IDの再割り当てを用いて、挿入後にセンター集合が単調かつ正しいことを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SETHを仮定した場合、直径の完全動的(4/3 − ϵ)近似アルゴリズムは、APSPベースの ˜O(n²) 平均更新時間を超えて改善可能か？
• RQ2 減分的グラフにおける直径の(3/2 + ϵ)近似は条件的最適か、それ以上に改善可能か？
• RQ3 動的SSSPへの還元によって、半径および同心円距離のほぼ最適な動的近似が達成可能か？
• RQ4 SETHを仮定した場合、例えば(5/3 − ϵ)のような既存の同心円距離の動的近似バウンドは条件的最適か？
• RQ5 近似比、更新時間、および動的SSSPをサブルーチンとして用いる際のトレードオフは何か？

主な発見

• SETHを仮定した場合、直径の完全動的(4/3 − ϵ)近似アルゴリズムは、平均更新時間 ˜O(n²) を超えて改善できない。これはAPSPベースのバウンドと一致する。
• 減分的グラフにおける直径のほぼ(3/2 + ϵ)近似は、総実行時間 ˜O(m^{1+o(1)}√n/ϵ²) で維持可能であり、静的3/2近似アルゴリズムの条件的最適性とほぼ一致する。
• 無重み、有向、強連結なグラフにおける増分的同心円距離について、(1−ϵ)近似を総実行時間 ˜O((Tinc(n,m,D′,ϵ)+m)n/(ϵ²D′)) で維持可能であり、D′ ≤ ε(v) をパラメータとして用いる。
• 近似の正しさは、各頂点vについて、vからの最も遠い頂点から距離ϵ′D′以内にセンターが存在することを保証することで成立し、三角不等式により(1−ϵ)近似が可能になる。
• 辺の挿入後に、IDの再割り当てにより、以前のセンターのスーパーセットを維持することで、センター集合の単調性と正しさを保証する。
• 総実行時間には、n回の挿入におけるセンターの更新に ˜O(mn) が含まれ、SCCアルゴリズムが追加で O(m^{3/2}) 時間を要するが、両者とも全体の複雑性内に収まる。