[論文レビュー] Algorithms and hardness results for happy coloring problems

N. R. Aravind, Subrahmanyam Kalyanasundaram+2 more|arXiv (Cornell University)|May 23, 2017

Advanced Graph Theory Research参考文献 18被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、部分的にk色に塗られたグラフにおける幸せな辺や頂点を最大化する問題であるハッピーカラーリング問題のアルゴリズム的複雑性を研究し、k ≥ 3において二部グラフおよびスプリットグラフ上でNP完全性を証明するとともに、O*(2^n)時間で実行される正確なアルゴリズムを提示し、k=3の場合にはさらに高速なO*(1.89^n)時間のアルゴリズムを提供している。また、重み付きバージョンに対して線形頂点カーネルを提示し、木幅や近隣多様性が有界なグラフにおいては多項式時間解法を示している。

ABSTRACT

In a vertex-colored graph, an edge is happy if its endpoints have the same color. Similarly, a vertex is happy if all its incident edges are happy. Motivated by the computation of homophily in social networks, we consider the algorithmic aspects of the following Maximum Happy Edges (k-MHE) problem: given a partially k-colored graph G, find an extended full k-coloring of G maximizing the number of happy edges. When we want to maximize the number of happy vertices, the problem is known as Maximum Happy Vertices (k-MHV). We further study the complexity of the problems and their weighted variants. For instance, we prove that for every k >= 3, both problems are NP-complete for bipartite graphs and k-MHV remains hard for split graphs. In terms of exact algorithms, we show both problems can be solved in time O*(2^n), and give an even faster O*(1.89^n)-time algorithm when k = 3. From a parameterized perspective, we give a linear vertex kernel for Weighted k-MHE, where edges are weighted and the goal is to obtain happy edges of at least a specified total weight. Finally, we prove both problems are solvable in polynomial-time when the graph has bounded treewidth or bounded neighborhood diversity.

研究の動機と目的

• 部分的にk色に塗られたグラフにおける幸せな辺および頂点の最大化の計算複雑性を調査すること。
• 一般グラフにとどまらず、二部グラフやスプリットグラフなどの特定のグラフクラスへの難易度結果の拡張。
• 問題の未重み付きおよび重み付きバージョンに対する正確な指数時間アルゴリズムの開発。
• 特に重み付きバージョンのカーネル化を含む、パラメータ化された複雑性の探求。
• 問題が多項式時間で解けるとされる、 tractable なグラフクラスの同定。

提案手法

• 既知のNP困難問題からの帰着を用いて、二部グラフおよびスプリットグラフ上でのk-MHEおよびk-MHVのNP完全性を証明する。
• 頂点部分集合の動的計画法を用いて、k-MHEおよびk-MHVの両方をO*(2^n)時間で解くアルゴリズムを設計する。
• k=3の場合に特化した分岐戦略を用いて、時間計算量をO*(1.89^n)に最適化する。
• 未塗りの頂点および同色の頂点を統合して重み付きグラフHを構築し、問題をより小さなインスタンスに還元する。
• 近隣多様性tを活用して、頂点近傍の構造的対称性を活かし、O*(2^t)-時間アルゴリズムを設計する。
• 各未塗り集合が単色であるような最適な色分けが存在することを証明し、これにより効率的なカーネル化と小さなインスタンスへの還元が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 k ≥ 3のとき、二部グラフ上でのk-MHE問題はNP完全であるか？
• RQ2 k ≥ 3のとき、スプリットグラフ上でのk-MHV問題はNP困難のままか？
• RQ3 木幅や近隣多様性が有界なグラフに対して、k-MHEおよびk-MHV問題はサブ指数時間で解けるか？
• RQ4 k=3の場合にk-MHEおよびk-MHVを解くことのできる最良の時間計算量は何か？
• RQ5 k-MHVの重み付き版は、解のサイズをパラメータとして、多項式カーネルを有するか？

主な発見

• すべてのk ≥ 3に対して、二部グラフ上でのk-MHEおよびk-MHVはNP完全である。
• すべてのk ≥ 3に対して、スプリットグラフ上でのk-MHVはNP完全である。
• 未重み付きのk-MHEおよびk-MHV問題はO*(2^n)時間で解けるが、k=3の場合はさらに高速なO*(1.89^n)時間のアルゴリズムが存在する。
• 重み付きk-MHEは線形頂点カーネルを有し、効率的なパラメータ化計算が可能になる。
• 入力グラフの木幅または近隣多様性が有界である場合、k-MHEおよびk-MHVの両問題は多項式時間で解ける。
• 各未塗り集合が単色であるような最適な色分けが存在し、これにより頂点の統合を用いた効率的な小さなグラフへの還元が可能になる。