[論文レビュー] Algorithms as Mechanisms: The Price of Anarchy of Relax-and-Round

Paul Dütting, Thomas Keßelheim+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2015

Auction Theory and Applications被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、無作為な丸めを伴う緩和・丸めアルゴリズムが、支払いを支払う価格設定と組み合わせることで、低価格の悪化（Price of Anarchy）を達成することを確立している。緩和が滑らかさによって価格の悪化の上限βを持つ場合、丸めがα近似かつ無作為的であると仮定すると、結果として得られるメカニズムの価格の悪化はO(αβ)であることが示され、従来の貪欲アルゴリズムに限られていた結果を、広範な近似アルゴリズムのクラスへと拡張している。

ABSTRACT

Many algorithms that are originally designed without explicitly considering incentive properties are later combined with simple pricing rules and used as mechanisms. The resulting mechanisms are often natural and simple to understand. But how good are these algorithms as mechanisms? Truthful reporting of valuations is typically not a dominant strategy (certainly not with a pay-your-bid, first-price rule, but it is likely not a good strategy even with a critical value, or second-price style rule either). Our goal is to show that a wide class of approximation algorithms yields this way mechanisms with low Price of Anarchy. The seminal result of Lucier and Borodin [SODA 2010] shows that combining a greedy algorithm that is an $\alpha$-approximation algorithm with a pay-your-bid payment rule yields a mechanism whose Price of Anarchy is $O(\alpha)$. In this paper we significantly extend the class of algorithms for which such a result is available by showing that this close connection between approximation ratio on the one hand and Price of Anarchy on the other also holds for the design principle of relaxation and rounding provided that the relaxation is smooth and the rounding is oblivious. We demonstrate the far-reaching consequences of our result by showing its implications for sparse packing integer programs, such as multi-unit auctions and generalized matching, for the maximum traveling salesman problem, for combinatorial auctions, and for single source unsplittable flow problems. In all these problems our approach leads to novel simple, near-optimal mechanisms whose Price of Anarchy either matches or beats the performance guarantees of known mechanisms.

研究の動機と目的

• 戦略的環境において自然に低価格の悪化をもたらすメカニズムを設計するためのアルゴリズム設計原則を特定すること。
• 従来、貪欲アルゴリズムに限定されていた近似比と価格の悪化の間の既知の関係を、緩和・丸めの枠組みへと拡張すること。
• 滑らかな緩和と組み合わせた場合、無作為な丸めが価格の悪化の保証を保持することを示すこと。
• 組合せオークションや整数計画法のパッケージング問題など、多様な問題に対して、単純で近似的最適なメカニズムを設計する一般枠組みを提供すること。
• これらのメカニズムがベイジアン均衡や学習に基づく均衡においても強力な性能を維持することを示すこと。

提案手法

• RoughgardenとSyrgkanis-Tardosの滑らかさフレームワークを活用し、(λ, µ)-滑らかさを用いてメカニズムを分析する。
• 目的関数に依存しない丸め方式（無作為な丸め）の概念を導入し、問題間での一般化を可能にする。
• 組合せ問題（例えば整数計画法、TSP、フロー問題）の緩和にこのフレームワークを適用し、ややいなごろしの条件下で滑らかさが成立することを示す。
• 支払いを支払う価格設定ルールを用い、滑らかさが不完全情報設定下でも価格の悪化の有界性を示すことを証明する。
• 非負かつ入札に上限のある支払いに対して弱い滑らかさへと結果を拡張し、近似緩和ソルバーに対しても適用可能である。
• CarrとVempalaの確率的メタ丸めを応用し、非無作為な丸めから無作為な丸めを導出し、適用範囲を広げる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 近似比と価格の悪化の関係を、貪欲アルゴリズムに限らず緩和・丸めアルゴリズムへと拡張できるか。
• RQ2 無作為な丸めがメカニズム設計において、価格の悪化の保証をどのように維持するか。
• RQ3 緩和の滑らかさとα近似の無作為な丸めが、価格の悪化がO(αβ)であるメカニズムを生成するか。
• RQ4 このフレームワークは、マルチユニットオークション、一般化マッチング、およびパラメータ付き単一ソースフロー問題などに適用可能か。
• RQ5 近似的に解かれた緩和から導かれるメカニズムの価格の悪化は何か。特に、緩和ソルバーが真実性を満たす場合にどうなるか。

主な発見

• α近似の無作為な丸め方式と滑らかな緩和を用いた緩和・丸めメカニズムは、価格の悪化がO(αβ)である。ここでβは緩和の価格の悪化の値である。
• この結果は純粋ナッシュ均衡に限らず、粗い混合均衡やベイジアン均衡に対しても成り立つ。
• マルチユニットオークションや一般化マッチングの問題では、既知の境界と同等またはそれ以上の価格の悪化を達成する新しいメカニズムが得られる。
• 最大巡回セールスマン問題では、初めて非自明な価格の悪化の保証が得られる。
• パッケージングLPに対してO(log n + log L)-近似ソルバーを用いる場合、組み合わせたメカニズムは価格の悪化がO(α(log n + log L))に抑えられる。
• このフレームワークは非正確な緩和ソルバーにも一般化可能であり、任意の非負の支払いが入札に上限を受ける場合、弱い滑らかさのもとでPoAの上限が(1 + µ)/λに保たれる。