[論文レビュー] Algorithms for affine Kac-Moody algebras

Terry Gannon|ArXiv.org|Jun 14, 2001

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 9被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、特に例外的リー代数に対して、モジュラーS行列の行列要素を計算し、アフィンKac-Moody代数における符号の符号を決定するための効率的なアルゴリズムを提示する。Weyl群の対称性とガロア作用を活用することで、計算量をO((log |W|)^3)の算術演算およびO((log |W|)^2)の三角関数評価にまで削減し、Wess-Zumino-Witten conformal field theoryにおけるS行列要素および融合規則の高速計算を可能にする。

ABSTRACT

Weyl groups are ubiquitous, and efficient algorithms for them -- especially for the exceptional algebras -- are clearly desirable. In this paper we provide several of these, addressing practical concerns arising naturally for instance in computational aspects of the study of affine algebras or Wess-Zumino-Witten conformal field theories. We also discuss the efficiency and numerical accuracy of these algorithms.

研究の動機と目的

• アフィンKac-Moody代数におけるモジュラーS行列の要素を計算する実用的で効率的なアルゴリズムの開発を目的とする。
• 特にE8のように6億以上もの要素を持つ例外的代数におけるWeyl群の巨大さに起因する計算課題に対処することを目的とする。
• 重みλをその標準的代表元に写すアフィンWeyl群元ŵの符号ε(λ) = det(ŵ)を、ŵを明示的に求めることなく高速に決定する方法を提供することを目的とする。
• ガロア自己同型がモジュラー不変量およびS行列要素に与える作用を明示的かつ計算的に容易に可能にする。
• コンformal field theoryへの応用、特にモジュラー不変量、融合規則、およびコンformal埋め込みの分岐則の支援を目的とする。

提案手法

• 有限Weyl群Wの構造とその重みへの作用を活用し、S行列式(1c)におけるW上の和を扱いやすい形に簡略化する。
• Sλμ = κ−r/2 s ∑w∈W (det w) exp[−2πi w(λ+ρ)·(μ+ρ)/κ] をコアとなる計算対象として用いる。
• ガロア対称性を応用し、自己同型σℓによるS行列要素の関係を導出し、σ(λ)とεσ(λ)をσ(λ) = [ℓ(λ+ρ)−ρ]およびεσ(λ) = ε′ℓ ε(ℓ(λ+ρ)−ρ)により高速に計算可能にする。
• 平方相反律を用いて、数論的係数ε′ℓを効率的に計算するためのヤコビ記号を用いる。
• P+kにおける標準的代表元[λ] = ŵ.λを求めるためのアルゴリズムを導入する。
• 分母恒等式および積分公式（例：mρについて）を用い、λがρの倍数である場合のSλμの簡略化を図り、対称性およびガロア作用を介して一般の重みへ拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アフィンKac-Moody代数におけるS行列要素は、特にWeyl群が巨大な例外的型（例：E8）において、どのようにして効率的に計算可能か？
• RQ2 与えられた重みλ∈P+kに対して、アフィンWeyl群の軌道代表元[λ]を効果的に計算するアルゴリズムは何か？
• RQ3 ŵを明示的に求めることなく、重みλをその標準的代表元に写すアフィンWeyl群元ŵの符号ε(λ) = det(ŵ)をどのように計算できるか？
• RQ4 ガロア自己同型はS行列要素をどのように関連づけ、モジュラー不変量においてその作用をどのように効率的に計算できるか？
• RQ5 S行列要素および符号の高速アルゴリズムを用いて、コンフォーマル埋め込みにおける分岐則を導出または検証できるか？

主な発見

• アルゴリズムはO((log |W|)^3)の算術演算およびO((log |W|)^2)の三角関数評価を用いてS行列要素を計算し、巨大なWeyl群にわたる和の計算コストを顕著に削減する。
• |W| ≈ 6.97×10^8であるE8のような例外的代数において、本手法はブルートフォースによる和の計算から、対数スケールの計算にまで計算負荷を削減する。
• 符号ε(λ)はεσ(λ) = ε′ℓ ε(ℓ(λ+ρ)−ρ)により計算可能であり、ε′ℓはヤコビ記号として与えられるため、群作用を完全に計算することなく、超高速な符号決定が可能になる。
• ガロア作用σℓは重みをσ(λ) = [ℓ(λ+ρ)−ρ]により写像し、この変換はモジュラー不変性を保つため、不変量の効率的検証が可能になる。
• S行列要素の計算とKac-Walton公式の適用により、従来欠落していた、あるいは予想にとどまっていたコンフォーマル埋め込みの分岐則を導出可能になる。
• 本手法は、モジュラー不変量の計算および、Mλμ ≠ 0 ⇒ εσ(λ) = εσ(μ)という符号則の検証を体系的かつ効率的に可能にする。これは、モジュラー不変量の分類において極めて重要である。