[論文レビュー] Algorithms for classical orthogonal polynomials

Wolfram Koepf, Dieter Schmersau|ArXiv.org|Dec 5, 1996

Mathematical functions and polynomials参考文献 10被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、超幾何型微分方程式の係数から直接導出することで、古典的直交多項式（例えば、エルミート、ラゲル、アーベル）の再帰係数および微分規則を計算する明示的なアルゴリズムを提示する。主な貢献は、多項式 σ(x) と τ(x) のみを用いて再帰的および微分的関係を体系的に計算する手法を提供することであり、直交多項式系の効率的な記号的計算を可能にする。

ABSTRACT

In this article explicit formulas for the recurrence equation p_{n+1}(x) = (A_n x + B_n) p_n(x) - C_n p_{n-1}(x) and the derivative rules sigma(x) p'_n(x) = alpha_n p_{n+1}(x) + beta_n p_n(x) + gamma_n p_{n-1}(x) and sigma(x) p'_n(x) = (alpha_n-tilde x + beta_n-tilde) p_n(x) + gamma_n-tilde p_{n-1}(x) respectively which are valid for the orthogonal polynomial solutions p_n(x) of the differential equation sigma(x) y''(x) + r(x) y'(x) + lambda_n y(x) = 0 of hypergeometric type are developed that depend only on the coefficients sigma(x) and tau(x) which themselves are polynomials w.r.t. x of degree not larger than 2 and 1, respectively. Partial solutions of this problem had beed previously published by Tricomi, and recently by Yáñez, Dehesa and Nikiforov.

研究の動機と目的

• 古典的直交多項式の再帰的および微分的関係に対する明示的でアルゴリズム的な公式の開発を目的とする。
• 超幾何型の直交多項式における再帰係数および微分規則の体系的計算のギャップを埋める。
• 多項式の次数がそれぞれ ≤2 および ≤1 である係数 σ(x) と τ(x) のみに依存する公式を提供すること。
• トリコミ、ヤニェス、デヘサ、ニキフォロフらの先行部分結果を統一的に一般化し、一貫性のある計算フレームワークを構築すること。
• 微分方程式のパラメータのみを用いて、再帰的および微分的規則を通じて直交多項式の記号的計算を可能にすること。

提案手法

• 微分方程式 σ(x)y'' + τ(x)y' + λny = 0 の係数 σ(x) と τ(x) から再帰係数 An, Bn, Cn を導出する。
• 微分方程式の構造を用いて、多項式 pn(x) の微分を pn+1(x)、pn(x)、pn−1(x) の線形結合として表現する。
• 係数一致により、微分規則 σ(x)p'n(x) = αnpn+1(x) + βnpn(x) + γnpn−1(x) を確立する。
• パrameterのシフトを含む別の形に微分規則を変換する：σ(x)p'n(x) = (α̃n − x + β̃n)p̃n(x) + γ̃npn−1(x)。
• 記号的計算技術を適用し、すべての再帰的および微分的係数を σ(x) と τ(x) の明示的関数として表現する。
• 既知の古典的直交多項式（エルミート、ラゲル、アーベル）をテストケースとして用いて、アルゴリズムの妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 σ(x) と τ(x) から、古典的直交多項式の再帰係数 An, Bn, Cn をどのように体系的に計算できるか？
• RQ2 σ(x) と τ(x) の観点から、微分規則 σ(x)p'n(x) = αnpn+1(x) + βnpn(x) + γnpn−1(x) の一般形は何か？
• RQ3 微分規則を α̃n、β̃n、γ̃n を含むシフトパラメータ形式に再表現できるか？
• RQ4 古典的直交多項式の完全な再帰的および微分的構造を生成するために必要な最小限の入力データ（σ(x), τ(x)）は何か？
• RQ5 導出された公式は、トリコミらの先行部分結果をどのように統合的かつ拡張的に一般化するか？

主な発見

• 再帰係数 An, Bn, Cn は、それぞれ次数が最大2および1である σ(x) と τ(x) の係数によって明示的に決定される。
• 微分規則 σ(x)p'n(x) = αnpn+1(x) + βnpn(x) + γnpn−1(x) は、σ(x) と τ(x) のみを用いて完全に表現可能であり、アルゴリズム的計算を可能にする。
• 別の微分規則が導出された：σ(x)p'n(x) = (α̃n − x + β̃n)pn(x) + γ̃npn−1(x)、これは記号的変換を簡素化する。
• 本手法は、トリコミ、ヤニェス、デヘサ、ニキフォロフらの先行結果を統一的に一般化し、単一の計算フレームワークに統合する。
• アルゴリズムは計算的に効率的であり、記号的計算システムへの実装に適している。
• 本アプローチにより、微分方程式のパラメータのみを用いて、すべての古典的直交多項式の再帰的および微分的関係を体系的に生成可能である。