[論文レビュー] Algorithms for commutative algebras over the rational numbers

H. W. Lenstra, Alice Silverberg|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2015

Coding theory and cryptography参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、ℚ 上の有限次元可換代数における基本的構造である、ノルム根、素イデアル、局所化、剰余体、分離的部分代数、原始的冪等元を計算する決定的多項式時間アルゴリズムを提示する。本論文では、従来のヘンゼル＝ニュートン反復に代わる、導分に基づく新しい方法を導入し、冪零元に対する冪等元の持ち上げを可能にし、任意の可換環で有効な明示的公式を提供する。これにより、乗法的群における離散対数問題の効率的解法が可能になる。

ABSTRACT

The algebras considered in this paper are commutative rings of which the additive group is a finite-dimensional vector space over the field of rational numbers. We present deterministic polynomial-time algorithms that, given such an algebra, determine its nilradical, all of its prime ideals, as well as the corresponding localizations and residue class fields, its largest separable subalgebra, and its primitive idempotents. We also solve the discrete logarithm problem in the multiplicative group of the algebra. While deterministic polynomial-time algorithms were known earlier, our approach is different from previous ones. One of our tools is a primitive element algorithm; it decides whether the algebra has a primitive element and, if so, finds one, all in polynomial time. A methodological novelty is the use of derivations to replace a Hensel-Newton iteration. It leads to an explicit formula for lifting idempotents against nilpotents that is valid in any commutative ring.

研究の動機と目的

• 有限次元可換 ℚ-代数におけるコアな計算問題に対する決定的多項式時間アルゴリズムの開発。
• ヘンゼル＝ニュートン反復の代替として、導分を用いた冪等元の持ち上げ法の提供。
• ジョルダン＝シュヴァリエリー分解（分離的部と冪零部）を効率的かつ同時に計算する。
• 代数の乗法的群における離散対数問題の解法。
• 単位群の構造の特定、特に ℤ^S から E^* への群準同型の核の生成元の同定。

提案手法

• 本論文は、ヘンゼル＝ニュートン反復を置き換える導分に基づくアプローチを用い、任意の可換環において冪等元を上げる普遍的な公式を導入する。
• 核が E_sep に一致する ℚ-線形写像 δ: ℚ[X]/(g) → ℚ[X]/(g, g') を定義することで、分離的部分代数の直接計算が可能になる。
• 定理 1.3 に基づく反復を要しないアルゴリズムにより、ノルム根と分離的部分代数を同時に計算し、係数の膨張を回避する。
• E^* における離散対数問題のアルゴリズムは、素イデアルに関する還元とノルム根における対数的持ち上げを組み合わせ、ジョルダン＝シュヴァリエリー分解を活用する。
• 単位群における核の計算は、剰余体およびノルム根における核アルゴリズムを組み合わせ、整数行列の方法を用いる。
• 本手法は、存在の判定と多項式時間での原始元の計算が可能な原始元アルゴリズムに依存している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℚ-代数のノルム根と分離的部分代数を、反復的手法を用いずに多項式時間で同時に計算できるか？
• RQ2 任意の可換環で有効であり、ヘンゼル＝ニュートン反復を回避する導分に基づく、冪零元に対する冪等元の持ち上げ法は存在するか？
• RQ3 ℚ-代数の乗法的群における離散対数問題を決定的多項式時間で解けるか？
• RQ4 ℚ-代数におけるすべての素イデアルおよびそれに対応する局所化を決定する計算複雑度は何か？
• RQ5 E が有限次元 ℚ-代数であるとき、群準同型 ℤ^S → E^* の核を効率的に計算する方法は何か？

主な発見

• 決定的多項式時間アルゴリズムにより、E_sep および √0 に対する ℚ-基底、およびジョルダン＝シュヴァリエリー分解写像とその逆写像が同時に計算可能である。
• 導分写像 δ: E → Ω_{E/ℚ} の核が常に E_sep に一致するとは限らないことが、ker(d) に非分離的元を含む反例によって示された。
• 任意の可換環で有効な導分を用いた明示的公式が、冪零元に対する冪等元の持ち上げのために導出された。
• E^* における離散対数問題のアルゴリズムは、素イデアルに関する還元とノルム根における対数的持ち上げを組み合わせることで、多項式時間で実行可能である。
• 群準同型 ℤ^S → E^* の核は、剰余体およびノルム根における核の共通部分として、整数行列の核アルゴリズムを用いて計算可能である。
• 本論文は、存在の判定と多項式時間での原始元の計算が可能な原始元アルゴリズムを提供している。