[論文レビュー] Algorithms for Competitive Division of Chores

Simina Brânzei, Fedor Sandomirskiy|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2019

Economic theories and models被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、金銭的移転が許可されない条件下で、加法的効用をもつエージェント間における分割可能な「悪いもの（チョアズ）」のすべての競争均衡配分を強多項式時間で計算するアルゴリズムを提示する。これは、エージェント数または悪いものの数が固定されている場合に成立する。この手法は、パレート最適な消費グラフの列挙、候補となる効用プロファイルの明示的公式、および競争性の確認のための最大フロー計算を組み合わせることで、公平配分における未解決問題を解決する。

ABSTRACT

We study the problem of allocating divisible bads (chores) among multiple agents with additive utilities when monetary transfers are not allowed. The competitive rule is known for its remarkable fairness and efficiency properties in the case of goods. This rule was extended to chores in prior work by Bogomolnaia, Moulin, Sandomirskiy, and Yanovskaya (2017). The rule produces Pareto optimal and envy-free allocations for both goods and chores. In the case of goods, the outcome of the competitive rule can be easily computed. Competitive allocations solve the Eisenberg-Gale convex program; hence the outcome is unique and can be approximately found by standard gradient methods. An exact algorithm that runs in polynomial time in the number of agents and goods was given by Orlin (2010). In the case of chores, the competitive rule does not solve any convex optimization problem; instead, competitive allocations correspond to local minima, local maxima, and saddle points of the Nash social welfare on the Pareto frontier of the set of feasible utilities. The Pareto frontier may contain many such points; consequently, the competitive rule's outcome is no longer unique. In this paper, we show that all the outcomes of the competitive rule for chores can be computed in strongly polynomial time if either the number of agents or the number of chores is fixed. The approach is based on a combination of three ideas: all consumption graphs of Pareto optimal allocations can be listed in polynomial time; for a given consumption graph, a candidate for a competitive utility profile can be constructed via an explicit formula; each candidate can be checked for competitiveness, and the allocation can be reconstructed using a maximum flow computation. Our algorithm gives an approximately-fair allocation of indivisible chores by the rounding technique of Barman and Krishnamurthy (2018).

研究の動機と目的

• 金銭的移転が許可されない状況下で、分割可能なチョアズの競争的配分を計算するという未解決問題に取り組む。
• 標準的な凸最適化手法を適用できない非凸性を有するチョアズ配分問題を克服する。
• エージェント数または悪いものの数が固定されている場合に、すべての競争的効用プロファイルを多項式時間で計算するアルゴリズムを提供する。
• 丸め技術を用いて、分割不可能なチョアズの近似的に公平な配分を可能にする。
• 2エージェントケースから得られたアルゴリズム的知見を、非自明な構造的複雑性を有する一般のnエージェント設定へと拡張する。

提案手法

• パレートフロンティアの構造を活用して、多項式時間内にすべてのパレート最適な消費グラフを列挙する。
• 各消費グラフに対して、エージェントの価値と予算に基づく明示的公式を用いて候補となる競争的効用プロファイルを構築する。
• 予算および価格の一貫性条件を確認するため、最大フロー計算を用いて各候補の競争性を検証する。
• Devanurら[DPSV02]のアルゴリズムを用いて、検証済みの効用プロファイルから妥当な配分を再構築する。
• チョアズの競争的配分が、パレートフロンティアにおけるナッシュ社会的厚生の臨界点（サドルポイント、局所極値）に一致することを活用する。
• BarmanとKrishnamurthy[BK19]の丸め技術を適用して、分割不可能なチョアズの近似的に公平な配分を取得する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エージェント数または悪いものの数が固定されている場合に、分割可能なチョアズのすべての競争的配分を強多項式時間で計算可能か？
• RQ2 凸最適化では捉えきれないが、チョアズの状況において競争的配分の集合を特徴付ける構造的性質は何か？
• RQ3 凸計画法が適用できないにもかかわらず、チョアズの競争的結果の非一意性をアルゴリズム的にどのように扱えるか？
• RQ4 チョアズに用いられたアプローチを、良いものと悪いものが混在する混合経済へと拡張可能か？
• RQ5 エージェントが消費に上限を設けられる制約付き経済において、競争的配分を計算する一般的手法は存在するか？

主な発見

• エージェント数または悪いものの数が固定されている場合、チョアズのすべての競争的効用プロファイルを強多項式時間で計算可能である。
• アルゴリズムはすべてのパレート最適な消費グラフを列挙し、最大フローを用いて各グラフの競争性を検証することで、正しさと完全性を保証する。
• チョアズの競争的ルールはいかなる凸計画でも表現できない。代わりに、パレートフロンティアにおけるナッシュ社会的厚生の臨界点として現れる。
• 本手法は丸め技術を用いて分割不可能なチョアズの近似的に公平な配分を生成するが、既存手法と同等の性能を達成するが、新たなアルゴリズム的基盤を提供する。
• 2エージェントの場合、パレートフロンティアの構造により効率的な計算が可能であるが、より多くのエージェントに拡張するには、グラフ列挙とフローに基づく検証に関する新たな知見が必要であった。
• 本アプローチは、公平な割り当て問題や消費上限付きの制約付き経済へと一般化可能であり、基本モデルを超えて広範な適用可能性を示唆している。