[論文レビュー] Algorithms for Probabilistically-Constrained Models of Risk-Averse Stochastic Optimization with Black-Box Distributions

Chaitanya Swamy|ArXiv.org|May 4, 2008

Risk and Portfolio Optimization参考文献 38被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ブラックボックス分布を伴う確率的制約下でのリスク回避的確率的最適化問題に対する、新たな近似アルゴリズムを提案する。分布のサンプリングのみが利用可能である条件下で、線形計画法（LP）緩和問題に対する完全多項式時間近似スキーム（FPTAS）と、予算および確率閾値を有界な近似要因内で保持するラウンディングフレームワークを提示しており、ブラックボックス分布を伴うこのクラスの問題に対する初めての結果を達成している。

ABSTRACT

We consider various stochastic models that incorporate the notion of risk-averseness into the standard 2-stage recourse model, and develop novel techniques for solving the algorithmic problems arising in these models. A key notable feature of our work that distinguishes it from work in some other related models, such as the (standard) budget model and the (demand-) robust model, is that we obtain results in the black-box setting, that is, where one is given only sampling access to the underlying distribution. Our first model, which we call the risk-averse budget model, incorporates the notion of risk-averseness via a probabilistic constraint that restricts the probability (according to the underlying distribution) with which the second-stage cost may exceed a given budget B to at most a given input threshold ρ. We also a consider a closely-related model that we call the risk-averse robust model, where we seek to minimize the first-stage cost and the (1-ρ)-quantile of the second-stage cost. We obtain approximation algorithms for a variety of combinatorial optimization problems including the set cover, vertex cover, multicut on trees, min cut, and facility location problems, in the risk-averse budget and robust models with black-box distributions. We obtain near-optimal solutions that preserve the budget approximately and incur a small blow-up of the probability threshold (both of which are unavoidable). To the best of our knowledge, these are the first approximation results for problems involving probabilistic constraints and black-box distributions. A major component of our results is a fully polynomial approximation scheme for solving the LP-relaxation of the risk-averse problem.

研究の動機と目的

• 分布へのサンプリングアクセスのみが利用可能な状況下で、確率的制約を伴うリスク回避的確率的最適化モデルの近似アルゴリズムを開発すること。
• 従来の予算モデルやロバストモデルの限界を扱う。これらは明示的なシナリオ列挙を必要とし、ブラックボックス設定では失敗する。
• サンプリング制約下で、予算および確率閾値の違反についても近似的に妥当性を保つアルゴリズムを設計すること。
• 非一様なシナリオ予算および期待値と分位数目的関数の重み付き組み合わせを含む一般化されたリスク回避的ロバストモデルへの拡張。
• ブラックボックスモデルにおいて、正確な確率閾値満足が有界なサンプルサイズで達成できないことを示す根本的なサンプル複雑度の下界を確立すること。

提案手法

• リスク回避的バジェット問題のLP緩和問題に対して、完全多項式時間近似スキーム（FPTAS）を構築する。
• 既存の決定論的または標準的確率的同等問題に対するLPベースの近似アルゴリズムを活用して、分数解をラウンドする手順を導入する。
• 分布の不確実性下で、2段階コストおよび確率的制約の推定にサンプリングに基づく手法を用いて、妥当な解を構築する。
• 集中不等式および統計的学習技術を用いて、与えられた閾値内で予算超過確率を推定するために必要なサンプル数を制限する。
• 情報理論的議論を用いて、リスク回避的集合被覆問題やその他の組合せ問題への還元を設計し、サンプル複雑度の下界を示す。
• ロバストモデルにおける期待値と(1−ρ)-分位数の重み付き組み合わせを扱えるように、フレームワークを一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分布へのサンプリングアクセスのみが利用可能な状況下で、リスク回避的確率的最適化問題のための近似アルゴリズムを設計できるか？
• RQ2 ブラックボックス分布下の確率的制約モデルにおいて、定数要因近似を達成するために必要な最小サンプル数は何か？
• RQ3 ブラックボックス設定下で、近似的に最適な目的関数値を達成しつつ、予算および確率閾値制約を同時に近似的に維持することは可能か？
• RQ4 確率閾値が加法的または乗法的に違反される場合、サンプル複雑度と近似保証はどのようにスケーリングするか？
• RQ5 期待値と分位数目的関数を組み合わせた一般化されたリスク回避的モデルへ、このフレームワークを拡張可能か？

主な発見

• 本稿は、ブラックボックス分布を伴うリスク回避的バジェット問題のLP緩和問題に対する、初めての完全多項式時間近似スキーム（FPTAS）を提示する。
• 任意のアルゴリズムが失敗確率δ < 1/2で(ε,γ)-最適解を達成するためには、確率閾値が最大で加法的κで違反される場合、Ω(1/κ)個のサンプルが必要であることが示された。
• 確率閾値が要因(1+κ)で乗法的に違反される場合、閾値がρであるとすると、必要なサンプルサイズはΩ(1/(κρ))である。
• 不可能性結果により、正確な確率閾値満足（κ=0）は、有界なサンプルサイズでも達成不可能であることが示された。これは標準的バジェットモデルに対しても同様に成り立つ。
• ブラックボックス制約の下で避けられない、予算および確率閾値の両方における近似的な吹き上がりを実現するフレームワークが、近似的に最適な解を達成する。
• 非一様なシナリオ予算および期待値と(1−ρ)-分位数目的関数の組み合わせを含む一般化されたリスク回避的ロバストモデルへも、結果は拡張可能である。