[論文レビュー] Algorithms for Quantum Branching Programs Based on Fingerprinting

Farid Ablayev, Alexander Vasiliev|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2009

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、特徴多項式を用いたフォグプロイニング手法を提示し、ブール関数の最適な量子順序付き分岐プログラム（QOBDD）を構築する。量子フォグプロイニングと古典的入力に条件付けられたユニタリ変換を活用することで、$MOD_m$、$EQ_n$、$Palindrome_n$、$PERM_n$ などの関数に対して幅効率の良いQOBDDを実現し、$O(n)$幅のQOBDDを用いたブール隠れ部分群問題への一般化を達成した。

ABSTRACT

In the paper we develop a method for constructing quantum algorithms for computing Boolean functions by quantum ordered read-once branching programs (quantum OBDDs). Our method is based on fingerprinting technique and representation of Boolean functions by their characteristic polynomials. We use circuit notation for branching programs for desired algorithms presentation. For several known functions our approach provides optimal QOBDDs. Namely we consider such functions as Equality, Palindrome, and Permutation Matrix Test. We also propose a generalization of our method and apply it to the Boolean variant of the Hidden Subgroup Problem.

研究の動機と目的

• 古典的対比手法よりも効率的な量子順序付き一回読み取り分岐プログラム（QOBDD）を体系的に構築する手法の開発。
• 基本的ブール関数、たとえば $MOD_m$、$EQ_n$、$Palindrome_n$、$PERM_n$ に対する幅最適なQOBDDを設計する課題への対処。
• フォグプロイニング技術を量子分岐プログラムモデルに一般化し、隠れ部分群問題のブール版を解くこと。
• ブール関数の特徴多項式と、量子フォグプロイニングによる効率的な量子計算との間の関係の確立。

提案手法

• ブール関数を $\mathbb{Z}_{2^n}$ 上の特徴多項式として表現し、量子アルゴリズム設計のための代数的操作を可能にする。
• 古典的入力変数に条件付けられた制御ユニタリ操作を用いて、関数値を量子状態に符号化することで、量子フォグプロイニングを適用する。
• 回路記法を用いて、QOBDDを古典的制御を持つ量子回路としてモデル化し、各命令が入力ビット $\sigma_{i_j}$ に応じてユニタリ $U_j(\sigma_{i_j})$ を適用する。
• 最終出力の受容確率 $||M_{\text{accept}}|\psi_\sigma\rangle||^2_2$ を計算するために、射影測定 $M_{\text{accept}}$ を用いる。
• 2つの主要な多項式を構築する：$g_1(x)$ はコセット内での定数値の検証に、$g_2(x)$ はコセット間での異なる値の検証に使用する。
• 一般化されたフォグプロイニング技術を活用し、片側誤差を伴う $O(n)$幅のQOBDDを、ブール隠れ部分群問題に実装する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フォグプロイニング技術は、基本的ブール関数の最適なQOBDDを構築するために適応可能か？
• RQ2 ブール関数の特徴多項式は、効率的な量子分岐プログラムを設計するためにどのように利用可能か？
• RQ3 順序付き一回読み取り分岐プログラムを用いた $MOD_m$、$EQ_n$、$Palindrome_n$、$PERM_n$ の量子計算複雑度は何か？
• RQ4 フォグプロイニング手法は、幅効率的かつ有界誤差でブール隠れ部分群問題を解くために一般化可能か？

主な発見

• フォグプロイニングと特徴多項式を用いて、$MOD_m$、$EQ_n$、$Palindrome_n$、$PERM_n$ に対する最適なQOBDDを構築した。
• $MOD_m$ に対しては、QOBDDの幅が $O(m)$ であり、既知の下界と一致し、最適性が裏付けられた。
• $EQ_n$ に対しては、QOBDDの幅が $O(n)$ であり、この関数における最適効率が達成された。
• $Palindrome_n$ に対しては、QOBDDの幅が $O(n)$ であり、古典的OBDDに比べて指数的優位性を示した。
• $PERM_n$ に対しては、QOBDDの幅が $O(n)$ であり、置換行列のテストを効率的に量子計算できることを示した。
• 一般化されたフォグプロイニングアプローチにより、片側誤差を伴う $O(n)$幅のQOBDDがブール隠れ部分群問題に得られ、ここで $n = |G|\lceil\log(G:K)\rceil$ である。