[論文レビュー] Algorithms for Solving Rubik's Cubes

Erik D. Demaine, Martin L. Demaine+3 more|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2011

graph theory and CDMA systems参考文献 13被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、標準的なO(n²)解法アルゴリズムの並列化を活用して、n×n×nおよびn×n×1ルービックキューブの配置空間の漸近的直径をΘ(n²/log n)として特定した。並列化により、ログの要因で速度が向上する。また、一部のピースのみを考慮する場合の最適解法のNP困難性を証明し、固定幅のルービックキューブ（c₁×c₂×n）に対して多項式時間アルゴリズムを提示した。

ABSTRACT

The Rubik's Cube is perhaps the world's most famous and iconic puzzle, well-known to have a rich underlying mathematical structure (group theory). In this paper, we show that the Rubik's Cube also has a rich underlying algorithmic structure. Specifically, we show that the n x n x n Rubik's Cube, as well as the n x n x 1 variant, has a "God's Number" (diameter of the configuration space) of Theta(n^2/log n). The upper bound comes from effectively parallelizing standard Theta(n^2) solution algorithms, while the lower bound follows from a counting argument. The upper bound gives an asymptotically optimal algorithm for solving a general Rubik's Cube in the worst case. Given a specific starting state, we show how to find the shortest solution in an n x O(1) x O(1) Rubik's Cube. Finally, we show that finding this optimal solution becomes NP-hard in an n x n x 1 Rubik's Cube when the positions and colors of some of the cubies are ignored (not used in determining whether the cube is solved).

研究の動機と目的

• n×n×nおよびn×n×1ルービックキューブの配置空間の漸近的直径（ゴッド数）を特定すること。
• 特に一部のピースのみが重要である場合に、最適な手順列を求める計算の複雑性を調査すること。
• 一般化されたルービックキューブに対して効率的なアルゴリズムを開発すること、特に固定幅の構成（c₁×c₂×n）のケースに注目すること。

提案手法

• 1つの手で同時に変換可能なn^Θ(1)個のピースを利用し、標準的なO(n²)解法アルゴリズムを並列化することで、総手数を対数的要因で削減する。
• 配置の数（2^Θ(n²)）と分岐係数（O(n)）に基づき、数え上げ的議論を用いて直径に対する下界Ω(n²/log n)を確立する。
• 手順列を長手と短手に再帰的に分解し、基本的な手順列を繰り返し適用することで、複雑な動きのパターンを模倣する。
• 鳩の巣原理を用いて、最適解における長手の数を減らし、繰り返し現れる動きのパターンを圧縮できることを示す。
• 定数サイズの長手列（c₁とc₂に依存する関数で上限を持つ）を列挙し、各ピースクラスタを短手の組み合わせの有限探索によって個別に解く。
• 動的計画法と組合せ最適化を適用し、すべての有効な長手列に対して最短解を探索することで、グローバル最適性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n×n×nおよびn×n×1ルービックキューブの配置空間の漸近的直径は何か？
• RQ2 n×n×1ルービックキューブにおいて、あるピースの部分集合を解くために最短の手順列を求める問題は、NP困難か？
• RQ3 c₁, c₂ ≠ n の固定幅のルービックキューブ（c₁×c₂×n）に対して、最適解は多項式時間で計算可能か？
• RQ4 手順の並列性を活用して、近似的に最適な解を得るための定数倍近似アルゴリズムを設計できるか？
• RQ5 最適解における長手の数は、キューブの次元に従ってどのように増加するか？また、その上限を示せるか？

主な発見

• n×n×nおよびn×n×1ルービックキューブの配置空間の直径はΘ(n²/log n)であり、これらのパズルの漸近的ゴッド数が解明された。
• 上界O(n²/log n)は、各手で同時にΘ(n)個のピースに影響を与えることを利用し、標準的な解法アルゴリズムを並列化することで達成された。
• 数え上げ的議論により下界Ω(n²/log n)が得られ、直径の結果が漸近的にタイトであることが確認された。
• n×n×1ルービックキューブにおいて、あるピースの部分集合を解くための最短手順列を求める問題は、一部のピースの位置や色を無視してもNP困難である。
• c₁, c₂ ≠ n のc₁×c₂×nルービックキューブに対しては、最適解が多項式時間で計算可能であり、長手列の数が定数個に制限される。
• c₁×c₂×nキューブの任意の最適解における長手の数は、(c₁c₂)! · 2^(1+3c₁c₂+8(c₁+c₂))以下であり、c₁とc₂が固定されている場合は定数である。