[論文レビュー] Algorithms for Subpath Convex Hull Queries and Ray-Shooting Among Segments

Haitao Wang|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 29被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、n 個の頂点からなる単純なパスにおける部分パスの凸包クエリを、O(n) の空間、O(log n) のクエリ時間で処理できるデータ構造を提示している。これは、同じクエリ時間のための O(n log log n) の空間を要する従来の手法よりも改善されたものである。コンパクトな区間木と効率的な事前処理を活用することで、線分間のレイシューティングや交差検出をより高速かつ空間効率的に実現でき、log log n 要因の空間計算量の削減を達成しながら、数十年にわたる結果と同等またはそれ以上のクエリ時間および事前処理時間を維持している。

ABSTRACT

In this paper, we first consider the subpath convex hull query problem: Given a simple path $π$ of $n$ vertices, preprocess it so that the convex hull of any query subpath of $π$ can be quickly obtained. Previously, Guibas, Hershberger, and Snoeyink [SODA 90'] proposed a data structure of $O(n)$ space and $O(\log n\log\log n)$ query time; reducing the query time to $O(\log n)$ increases the space to $O(n\log\log n)$. We present an improved result that uses $O(n)$ space while achieving $O(\log n)$ query time. Like the previous work, our query algorithm returns a compact interval tree representing the convex hull so that standard binary-search-based queries on the hull can be performed in $O(\log n)$ time each. Our new result leads to improvements for several other problems. In particular, with the help of the above result, we present new algorithms for the ray-shooting problem among segments. Given a set of $n$ (possibly intersecting) line segments in the plane, preprocess it so that the first segment hit by a query ray can be quickly found. We give a data structure of $O(n\log n)$ space that can answer each query in $(\sqrt{n}\log n)$ time. If the segments are nonintersecting or if the segments are lines, then the space can be reduced to $O(n)$. All these are classical problems that have been studied extensively. Previously data structures of $\widetilde{O}(\sqrt{n})$ query time (the notation $\widetilde{O}$ suppresses a polylogarithmic factor) were known in early 1990s; nearly no progress has been made for over two decades. For all problems, our results provide improvements by reducing the space of the data structures by at least a logarithmic factor while the preprocessing and query times are the same as before or even better.

研究の動機と目的

• O(log n) のクエリ時間と O(n) の空間のみを用いて、部分パスの凸包クエリを処理できるデータ構造を設計し、空間とクエリ時間のトレードオフにおける長年のギャップを埋めること。
• 新しい部分パスハルデータ構造を活用して、計算幾何学におけるレイシューティングと線分の交差検出問題の効率を向上させること。
• ガーディング集合、長方形による多角形の包囲、top-k 近接/遠方近傍クエリといった既存の幾何アルゴリズムの空間計算量を、log log n 要因だけ低減し、時間計算量に悪影響を与えることなく実現すること。
• コンパクトな区間木を用いた実用的で効率的な解決策を提供し、凸包に対する分解可能および非分解可能なクエリを両方サポートすることで、従来の並列的または柔軟性に欠けるアプローチを凌駕すること。

提案手法

• 頂点のx座標のソート後に線形時間の事前処理を実行し、任意のクエリ部分パスの凸包をコンパクトな区間木表現として構築すること。
• パスの階層的分解を用いて、凸包に対する対数時間オーダーのクエリを可能にし、各クエリが極端な点のクエリや直線の交差をO(log n)時間で処理できる構造を返すこと。
• レイシューティングアルゴリズムに部分パスハルデータ構造をレイヤードアプローチで統合し、平面分割と範囲検索を用い、セルの走査に Chan の分割木を効率的に活用すること。
• 構築されたパスの部分パスにおける凸包クエリに帰着することで、直線や線分間のレイシューティング問題を部分パスハル構造を用いて解くこと。
• 多段階のデータ構造と単体型範囲検索技術を用いて、交差する線分のクエリ時間を O(√n log n) に抑え、確率的に高い割合で O(n log n) の事前処理時間に最適化すること。
• Chazelle と Guibas [11] の結果と、コンパクトな区間木の新規応用を活用して、非分解可能なクエリを効率的に処理し、ハルの実際の辺をハルサイズに比例する線形時間で出力可能にすること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 O(n) の空間と O(log n) のクエリ時間で部分パスの凸包クエリデータ構造を構築可能か？ これは、最良のクエリ時間と同等でありながら、O(n log log n) の空間を必要としない。
• RQ2 新しい部分パスハル構造を用いて、特に交差する線分が存在する状況下でも、レイシューティングと線分間の交差検出を改善可能か？
• RQ3 ガーディング集合、長方形による多角形の包囲、top-k 近接/遠方近傍クエリといった既存の幾何アルゴリズムの空間計算量を、新しい部分パスハル構造によって log log n 要因だけ低減可能か？
• RQ4 コンパクトな区間木表現を用いて、凸包に対する分解可能および非分解可能な両方のクエリをサポートし、ハルの辺をハルサイズに比例する線形時間で出力可能か？
• RQ5 O(√n log n) のクエリ時間のまま、事前処理時間を確率的に高い割合で O(n log n) に短縮可能か？

主な発見

• 本論文は、部分パスの凸包クエリに対して、O(n) の空間と O(log n) のクエリ時間を持つ初めてのデータ構造を提示しており、空間とクエリ時間の最適なトレードオフを達成している。
• 新規データ構造は、凸包に対する標準的な二分探索ベースのクエリをすべて O(log n) 時間で処理でき、ハルの実際の辺をハル頂点数に比例する線形時間で出力可能である。
• n本の直線に対するレイシューティングでは、O(n) の空間と O(√n log n) のクエリ時間のデータ構造を達成しており、同様のクエリ時間のための O(n log n) の空間を要する従来の結果を改善している。
• n本の（交差する可能性のある）線分に対するレイシューティングでは、O(n log n) の空間と O(√n log n) のクエリ時間のデータ構造を達成しており、従来の手法と比較して空間計算量を log log n 要因だけ低減している。
• クエリ線分とn本の線分の交差検出に対しては、O(n) の空間と O(√n log n) のクエリ時間のデータ構造を提供しており、再び空間計算量を log log n 要因だけ低減している。
• 新しい部分パスハル構造により、ガーディング集合の計算、2つの長方形による多角形の包囲、L1 top-k 重み付き和近接/遠方近傍クエリといった複数の幾何問題において、空間効率が向上し、O(n log log n) から O(n) に空間計算量が低減されている。時間計算量は維持または向上している。